由高考试题浅谈如何提高数学复习效率蔡飞 (2)VIP免费

由高考试题浅谈如何提高数学复习效率扬中市第二高级中学蔡飞高三数学复习题以及高考试题浩如烟海，层出不穷，有的似曾相识，有的耳目一新。这些题目从何而来？揭开神秘的面纱，其实根在课本，法在脑中，弄清原理、本质往往手到擒来。现以解析几何试题为例，扼要剖析如何提高复习效率。一．试题改编先看两道试题:1.2010年全国高考数学卷I（理）第21题。已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；（Ⅱ）设,求的内切圆M的方程。2.2013年陕西高考数学（理）卷第20题已知动圆过定点A(4,0),且在y轴上截得的弦MN的长为8.(Ⅰ)求动圆圆心的轨迹C的方程;(Ⅱ)已知点B(－1,0),设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P,Q,若x轴是的角平分线,证明直线过定点.剖析1:在第1题中，若连结可知轴即为的平分线。与问题2的条件吻合，问题1的结论换一种说法就是直线BD过定点F，这一结论作一般推广仍然成立，即对任一抛物线，过轴负半轴上任一点作直线交抛物线C于A，B两点，点A关于轴的对称点为D，则BD过定点，对比第2题由（1）可求得轨迹C的方程为，当直线与抛物线交于不同的两点满足轴是的角平分线时，Q点关于轴的对称点即在直线BP上，因此PQ一定经过B点关于原点的对称点。启示1：对于原有试题，只要弄清其本质规律，就可以通过改变问题情境、表述方式改编成新问题，其解题方法完全相同或相似。因此在平时的高三复习教学中，教师首先要搜集大量的试题信息，将情境不同，方法相同或者相似的试题归类到一起，以便于在课堂教学中灵活的作出变式，指引学生将遇到的问题与已经掌握的问题进行比较，力求发现共同点和相似之处，以便举一反三，以一当十。二．原理拓展先看一个有趣的变形，对于椭圆方程：从以上变形可以挖掘一个几何结论：椭圆上异于长轴端点的任一点与椭圆上两点的连线斜率（假设斜率存在）之积为。将此原理推广到双曲线或特殊化可命制许多问题，如：3.2011年高考湖北卷第20题平面内与两定点连线的斜率之积等于非零常数m的点的轨迹，加上A1、A2两点所在的曲线C可以是圆、椭圆或双曲线.(Ⅰ)求曲线C的方程，并讨论C的形状与m的位置关系；(Ⅱ)当m=-1时，对应的曲线为C1：对给定的，对应的曲线为C2，设F1、F2是C2的两个焦点，试问：在C1上，是否存在点N，使得△F1NF2的面积，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.4.2011年江西卷第20题已知：点P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E：上一点，M，N分别是双曲线E的左右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．（1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足，求λ的值．5.2010年北京卷第19题在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由剖析2：.第3，4，5题都是圆，椭圆，双曲线的一个特殊性质的具体表现。在高中数学教科书（人教版、苏教版）都有相应的练习与习题。其中第一题中当时，轨迹为圆，当时为椭圆，当时轨迹为双曲线，第4题的结论求离心率，若能想到双曲线的特殊性质，两直线的斜率之积为，则离心率立即求得。第5题则是原性质的直接运用。启示2：从一个已证的结论、性质出发进行具体化、一般化、类比等变换，可以得到一系列新的试题，在高三数学复习教学中，教师有必要将圆、椭圆、双曲线中一些比较类似的定点，定值等重要几何性质问题在复习时与学生一起探讨清楚。弄清楚一些重要性质和经典结论，以此破解高考试题一招见血，简单实用。三．逆向探究一些数学结论如果探究它的逆命题往往就能得到新的试题。对比以下问题：6.在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。过F任作直线交椭圆于M，N两点，连结AM与BN交于P点。证明P在一条定直线上。7.2010年江苏高考卷第18题在平面直角坐标系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点、...