一题多解，妙趣横生湖北省襄阳市第五中学刘军（邮编：441000）一题多解是数学解题中很有趣的一项活动，它深刻揭示出数学思维的多向性、深刻性、灵活性，充分体现出数学是锻炼人的思维灵活性的价值理念
解题过程中，只要我们开动脑筋，细致思考，就能旁引博证，奇招连连，方法多多，妙趣横生
下面笔者通过对一道问题的研究，来加以说明，希望读者能从中有一定的启发和收获
例：是否存在正数，使不等式对任意正实数、恒成立
试证明你的结论
若存在，则求出的值
【方法1】猜想——证明
令，则有时，不等式恒成立
下面给出证明：
综上知：对任意的正实数、恒有，所以存在正常数满足题设要求
点评：此题中的参变量与主变量已呈现分离状态，因此只需要求出左右两端式子的最值便求出了值
用的是猜想加证明的方法
可见合理的猜想是解决数学问题的重要方法之一
【方法2】重要不等式法求最值
∵1，当且仅当时，取最大值
又，当且仅当时，取最小值
所以，使不等式对任意正实数、恒成立，当且仅当，所以存在正常数满足题设要求
点评：【方法2】是利用重要不等式求左右两端的最值
关键是注意到中两项的分子分母的关系及中两项的分子分母的关系，非常巧妙的变为及变为形式，加以变形，即可利用重要不等式求出最值
【方法3】整体转换——代数换元
设解方程组得当且仅当即时，取最大值
2当且仅当即时，取最小值
所以，使不等式对任意正实数、恒成立，当且仅当，所以存在正常数满足题设要求
点评：【方法3】是受【方法2】的解法的启发获得的一种解法
由【方法2】中的式子和特征知道，由重要不等式求最值时，应用的是分子和分母整体结构，从而引设来解决问题
【方法4】利用分子分母关于和的一次齐次特征解题
因为、是正实数，令，则所以有当且仅当即，也就是时，取最大值
当且仅当即，也就是时，取最小值
所以，使不等式对任意正实数、恒成立，当且仅当，所以存在正常数满足题设要求
