0vOP第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准一、（15分）一半径为R、内侧光滑的半球面固定在地面上，开口水平且朝上。一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度，其大小为v0（v0≠0）。求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率。重力加速度大小为g。参考解答：以滑块和地球为系统，它在整个运动过程中机械能守恒.滑块沿半球面内侧运动时，可将其速度分解成纬线切向（水平方向）分量及经线切向分量.设滑块质量为，在某中间状态时，滑块位于半球面内侧处，和球心的连线与水平方向的夹角为.由机械能守恒得（1）这里已取球心处为重力势能零点.以过的竖直线为轴.球面对滑块的支持力通过该轴，力矩为零；重力相对于该轴的力矩也为零.所以在整个运动过程中，滑块相对于轴的角动量守恒，故.（2）由（1）式，最大速率应与的最大值相对应.（3）而由（2）式，不可能达到.由（1）和（2）式，的最大值应与相对应，即.（4）[（4）式也可用下述方法得到：由（1）、（2）式得.若，由上式得.实际上，也满足上式。由上式可知.由（3）式有.（4’）]将代入式（1），并与式（2）联立，得.（5）以为未知量，方程（5）的一个根是，即，这表示初态，其速率为最小值，不是所求的解.于是.约去，方程（5）变为1.（6）其解为.（7）注意到本题中，方程（6）的另一解不合题意，舍去.将（7）式代入（1）式得，当时，,（8）考虑到（4）式有.（9）评分标准：本题15分。（1）式3分，（2）式3分，（3）式1分，（4）式3分，（5）式1分，（6）式1分，（7）式1分，（9）式2分。二、（20分）一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上，杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为αm（α为常数）的小物块B，杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动。一质量为m的小环C套在细杆上（C与杆密接），可沿杆滑动，环C与杆之间的摩擦可忽略。一轻质弹簧原长为l，劲度系数为k，两端分别与小环C和物块B相连。一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D，并与之发生完全弹性正碰，碰撞时间极短.碰撞时滑块C恰好静止在距轴为r（r＞l）处。1．若碰前滑块A的速度为v0，求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量；2．若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动，求碰前滑块A的速度v0应满足的条件。参考解答1.由于碰撞时间很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束.设碰后A、C、D的速度分别为、、，显然有.（1）以A、B、C、D为系统，在碰撞过程中，系统相对于轴不受外力矩作用，其相对于轴的角动量守恒.（2）由于轴对系统的作用力不做功，系统内仅有弹力起作用，所以系统机械能守恒.又由于碰撞时间很小，弹簧来不及伸缩碰撞已结束，所以不必考虑弹性势能的变化.故.（3）由（1）、（2）、（3）式解得（4）[代替（3）式，可利用弹性碰撞特点.（3’）同样可解出（4）.]设碰撞过程中D对A的作用力为，对A用动量定理有2,（5）方向与方向相反.于是，A对D的作用力为的冲量为（6）方向与方向相同.以B、C、D为系统，设其质心离转轴的距离为，则.（7）质心在碰后瞬间的速度为.（8）轴与杆的作用时间也为，设轴对杆的作用力为，由质心运动定理有.（9）由此得.（10）方向与方向相同.因而，轴受到杆的作用力的冲量为,（11）方向与方向相反.注意：因弹簧处在拉伸状态，碰前轴已受到沿杆方向的作用力；在碰撞过程中还有与向心力有关的力作用于轴.但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零，已忽略.[代替（7）-（9）式，可利用对于系统的动量定理.][也可由对质心的角动量定理代替（7）-（9）式.]2.值得注意的是，（1）、（2）、（3）式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立的.如果弹簧的弹力恰好提供滑块C以速度绕过B的轴做匀速圆周运动的向心力，即（12）则弹簧总保持其长度不变，（1）、（2）、（3）式是成立的.由（12）式得碰前滑块A的速度应满足的条件（13）可见，为了使碰撞后系统能保持匀速转动，碰前滑块A的速度大小应满足（13）式.评分标准：本题20分.第1问16分，（1）式1分，（2）式2分，（3）式2分，（4）式2分，（5）式2分，（6）式1分，（7）式1分，（8）式1分，（9）式2分，（10）式1分...
