0vOP第30届全国中学生物理竞赛复赛考试试题解答与评分标准一、(15分)一半径为R、内侧光滑的半球面固定在地面上,开口水平且朝上。一小滑块在半球面内侧最高点处获得沿球面的水平速度,其大小为v0(v0≠0)。求滑块在整个运动过程中可能达到的最大速率。重力加速度大小为g。参考解答:以滑块和地球为系统,它在整个运动过程中机械能守恒.滑块沿半球面内侧运动时,可将其速度分解成纬线切向(水平方向)分量及经线切向分量.设滑块质量为,在某中间状态时,滑块位于半球面内侧处,和球心的连线与水平方向的夹角为.由机械能守恒得(1)这里已取球心处为重力势能零点.以过的竖直线为轴.球面对滑块的支持力通过该轴,力矩为零;重力相对于该轴的力矩也为零.所以在整个运动过程中,滑块相对于轴的角动量守恒,故.(2)由(1)式,最大速率应与的最大值相对应.(3)而由(2)式,不可能达到.由(1)和(2)式,的最大值应与相对应,即.(4)[(4)式也可用下述方法得到:由(1)、(2)式得.若,由上式得.实际上,也满足上式。由上式可知.由(3)式有.(4’)]将代入式(1),并与式(2)联立,得.(5)以为未知量,方程(5)的一个根是,即,这表示初态,其速率为最小值,不是所求的解.于是.约去,方程(5)变为1.(6)其解为.(7)注意到本题中,方程(6)的另一解不合题意,舍去.将(7)式代入(1)式得,当时,,(8)考虑到(4)式有.(9)评分标准:本题15分。(1)式3分,(2)式3分,(3)式1分,(4)式3分,(5)式1分,(6)式1分,(7)式1分,(9)式2分。二、(20分)一长为2l的轻质刚性细杆位于水平的光滑桌面上,杆的两端分别固定一质量为m的小物块D和一质量为αm(α为常数)的小物块B,杆可绕通过小物块B所在端的竖直固定转轴无摩擦地转动。一质量为m的小环C套在细杆上(C与杆密接),可沿杆滑动,环C与杆之间的摩擦可忽略。一轻质弹簧原长为l,劲度系数为k,两端分别与小环C和物块B相连。一质量为m的小滑块A在桌面上以垂直于杆的速度飞向物块D,并与之发生完全弹性正碰,碰撞时间极短.碰撞时滑块C恰好静止在距轴为r(r>l)处。1.若碰前滑块A的速度为v0,求碰撞过程中轴受到的作用力的冲量;2.若碰后物块D、C和杆刚好做匀速转动,求碰前滑块A的速度v0应满足的条件。参考解答1.由于碰撞时间很小,弹簧来不及伸缩碰撞已结束.设碰后A、C、D的速度分别为、、,显然有.(1)以A、B、C、D为系统,在碰撞过程中,系统相对于轴不受外力矩作用,其相对于轴的角动量守恒.(2)由于轴对系统的作用力不做功,系统内仅有弹力起作用,所以系统机械能守恒.又由于碰撞时间很小,弹簧来不及伸缩碰撞已结束,所以不必考虑弹性势能的变化.故.(3)由(1)、(2)、(3)式解得(4)[代替(3)式,可利用弹性碰撞特点.(3’)同样可解出(4).]设碰撞过程中D对A的作用力为,对A用动量定理有2,(5)方向与方向相反.于是,A对D的作用力为的冲量为(6)方向与方向相同.以B、C、D为系统,设其质心离转轴的距离为,则.(7)质心在碰后瞬间的速度为.(8)轴与杆的作用时间也为,设轴对杆的作用力为,由质心运动定理有.(9)由此得.(10)方向与方向相同.因而,轴受到杆的作用力的冲量为,(11)方向与方向相反.注意:因弹簧处在拉伸状态,碰前轴已受到沿杆方向的作用力;在碰撞过程中还有与向心力有关的力作用于轴.但有限大小的力在无限小的碰撞时间内的冲量趋于零,已忽略.[代替(7)-(9)式,可利用对于系统的动量定理.][也可由对质心的角动量定理代替(7)-(9)式.]2.值得注意的是,(1)、(2)、(3)式是当碰撞时间极短、以至于弹簧来不及伸缩的条件下才成立的.如果弹簧的弹力恰好提供滑块C以速度绕过B的轴做匀速圆周运动的向心力,即(12)则弹簧总保持其长度不变,(1)、(2)、(3)式是成立的.由(12)式得碰前滑块A的速度应满足的条件(13)可见,为了使碰撞后系统能保持匀速转动,碰前滑块A的速度大小应满足(13)式.评分标准:本题20分.第1问16分,(1)式1分,(2)式2分,(3)式2分,(4)式2分,(5)式2分,(6)式1分,(7)式1分,(8)式1分,(9)式2分,(10)式1分...