高中数学 第一章 解直角三角形 1.1 正弦定理和余弦定理习题 新人教B版必修5-新人教B版高二必修5数学试题VIP专享VIP免费

1.1正弦定理和余弦定理基础自测1.（2008·陕西理，3）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若c=2，b=6，B=120°,则a等于（）A.6B.2C.3D.2答案D2.（2008·福建理，10）在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c，若（a2+c2-b2）tanB=3ac，则角B的值为()A.6B.3C.6或65D.3或32答案D3.下列判断中正确的是（）A.△ABC中，a=7，b=14，A=30°,有两解B.△ABC中，a=30,b=25,A=150°，有一解C.△ABC中，a=6,b=9，A=45°，有两解D.△ABC中，b=9,c=10,B=60°,无解答案B4.在△ABC中，A=60°,AB=5,BC=7,则△ABC的面积为.答案3105.（2008·浙江理，13）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若（3b-c）cosA=acosC，则cosA=.答案33例1在△ABC中，已知a=3,b=2,B=45°,求A、C和c.解 B=45°＜90°且asinB＜b＜a,∴△ABC有两解.由正弦定理得sinA=bBasin=245sin3=23,则A为60°或120°.①当A=60°时，C=180°-(A+B)=75°,c=BCbsinsin=45sin75sin2=45sin)3045sin(2=226.②当A=120°时，C=180°-(A+B)=15°,c=BCbsinsin=45sin15sin2=45sin)3045sin(2=226.故在△ABC中，A=60°,C=75°,c=226或A=120°,C=15°,c=226.例2在△ABC中，a、b、c分别是角A，B，C的对边，且CBcoscos=-cab2.（1）求角B的大小；（2）若b=13，a+c=4，求△ABC的面积.解（1）由余弦定理知：cosB=acbca2222，1cosC=abcba2222.将上式代入CBcoscos=-cab2得:acbca2222·2222cbaab=-cab2整理得:a2+c2-b2=-ac∴cosB=acbca2222=acac2=-21 B为三角形的内角，∴B=32.（2）将b=13,a+c=4,B=32代入b2=a2+c2-2accosB,得b2=(a+c)2-2ac-2accosB∴b2=16-2ac211,∴ac=3.∴S△ABC=21acsinB=433.例3（12分）△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2+c2-a2+bc=0.（1）求角A的大小；（2）若a=3，求bc的最大值；（3）求cbCa)30sin(的值.解（1） cosA=bcacb2222=bcbc2=-21,1分又 A∈（0，），∴A=120°.2分（2）由a=3,得b2+c2=3-bc,又 b2+c2≥2bc（当且仅当c=b时取等号），∴3-bc≥2bc(当且仅当c=b时取等号）.4分即当且仅当c=b=1时，bc取得最大值为1.6分（3）由正弦定理得：CcBbAasinsinsin2R,∴CRBRCARcbCasin2sin2)30sin(sin2)30sin(8分=CBCAsinsin)30sin(sin9分=CCCCsin)60sin()sin23cos21(2310分=CCCCsin23cos23sin43cos4311分=21.12分例4在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B）=（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.2解方法一已知等式可化为a2［sin（A-B）-sin（A+B）］=b2［-sin（A+B）-sin(A-B)］∴2a2cosAsinB=2b2cosBsinA由正弦定理可知上式可化为：sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA∴sinAsinB(sinAcosA-sinBcosB)=0∴sin2A=sin2B,由0＜2A,2B＜2得2A=2B或2A=-2B,即A=B或A=2-B,∴△ABC为等腰或直角三角形.方法二同方法一可得2a2cosAsinB=2b2sinAcosB由正、余弦定理,可得a2bbcacb2222=b2aacbca2222∴a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2)即(a2-b2)(a2+b2-c2)=0∴a=b或a2+b2=c2∴△ABC为等腰或直角三角形.1.（1）△ABC中，a=8,B=60°,C=75°,求b;（2）△ABC中，B=30°,b=4,c=8,求C、A、a.解（1）由正弦定理得BbAasinsin. B=60°,C=75°,∴A=45°,∴b=45sin60sin8sinsinABa=46.（2）由正弦定理得sinC=430sin8sinbBc=1.又 30°＜C＜150°,∴C=90°.∴A=180°-(B+C)=60°,a=22bc=43.2.已知△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若△ABC的面积为S，且2S=(a+b)2-c2，求tanC的值.解依题意得absinC=a2+b2-c2+2ab,由余弦定理知,a2+b2-c2=2abcosC.所以,absinC=2ab(1+cosC),即sinC=2+2cosC,所以2sin2Ccos2C=4cos22C化简得：tan2C=2.从而tanC=2tan12tan22CC=-34.3.（2008·辽宁理，17）在△ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c.已知c=2,C=3.（1）若△ABC的面积等于3，求a、b的值；（2）若sinC+sin(B-A)=2sin2A,求△ABC的面积.解（1）由余弦定理及已知条件，得a2+b2-ab=4.又因为△ABC的面积等于3，所以21absinC=3，...