1.1正弦定理和余弦定理第2课时余弦定理A级基础巩固一、选择题1．△ABC中，若a＝3，c＝7，∠C＝60°，则边长b为()A．5B．8C．5或－8D．－5或8解析：由余弦定理，c2＝a2＋b2－2abcosC，所以49＝9＋b2－3b⇒(b－8)(b＋5)＝0，因为b＞0，所以b＝8.答案：B2．在△ABC中，已知三边a＝3，b＝5，c＝7，则三角形ABC是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．无法确定解析：何种三角形取决于最大的角．最长的边所对的角最大，由余弦定理知：cosC＝＝－＜0，所以C为钝角．答案：C3．在△ABC中，有下列结论：①若a2＞b2＋c2，则△ABC为钝角三角形；②若a2＝b2＋c2＋bc，则∠A为60°；③若a2＋b2＞c2，则△ABC为锐角三角形；④若A∶B∶C＝1∶2∶3，a∶b∶c＝1∶2∶3.其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：①cosA＝＜0，所以A为钝角，正确；②cosA＝＝－，所以A＝120°，错误；③cosC＝＞0，所以C为锐角，但A或B不一定为锐角，错误；④A＝30°，B＝60°，C＝90°，a∶b∶c＝1∶∶2，错误．答案：A4．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，则cosC的值为()A.B．－C.D．－解析：根据正弦定理，a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，设a＝3k，b＝2k，c＝3k(k＞0)，则有cosC＝＝.答案：A5．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是()A．等腰直角三角形B．直角三角形C．等腰三角形D．等边三角形解析：因为2cosBsinA＝sinC，所以2×·a＝c，所以a＝b，所以△ABC为等腰三角形．答案：C二、填空题6．在△ABC中，若(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)，则∠A＝________．1解析：由(a＋c)(a－c)＝b(b＋c)得b2＋c2－a2＝－bc，所以cosA＝－，A＝120°.答案：120°7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知b－c＝a，2sinB＝3sinC，则cosA的值为________．解析：由正弦定理得到边b，c的关系，代入余弦定理的变化求解即可．由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝c.又b＝c＝a，所以c＝a，即a＝2c.由余弦定理得cosA＝＝＝＝－.答案：－8．三角形的一边长为14，这条边所对的角为60°，另两边长之比为8∶5，则这个三角形的面积是________．解析：设另两边长分别为8x，5x(x＞0)，则cos60°＝，解得x＝2或x＝－2(舍去)．故另两边长分别是16，10.所以三角形的面积S＝×16×10×sin60°＝40.答案：40三、解答题9．在△ABC中，已知sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，求B的度数．解：因为sin2B－sin2C－sin2A＝sinAsinC，由正弦定理得：b2－c2－a2＝ac，由余弦定理得：cosB＝＝－，又0°＜B＜180°，所以B＝150°.10．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，2cos(A＋B)＝1(1)求角C的度数；(2)求AB的长．解：(1)因为cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－，且C∈(0，π)，所以C＝.(2)因为a，b是方程x2－2x＋2＝0的两根，所以所以AB2＝b2＋a2－2abcos120°＝(a＋b)2－ab＝10，所以AB＝.B级能力提升1．在△ABC中，sin2＝，则△ABC的形状为()A．正三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形解析：因为sin2＝＝，所以cosA＝＝，所以a2＋b2＝c2，故△ABC为直角三角形．答案：B2．在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD为边BC上的高，则AD的长是________．解析：因为cosC＝＝，所以sinC＝.2所以AD＝AC·sinC＝.答案：3．在△ABC中，已知a－b＝4，a＋c＝2b，且最大角为120°，求三边的长．解：由得所以a＞b＞c，所以A＝120°，所以a2＝b2＋c2－2bccos120°，即(b＋4)2＝b2＋(b－4)2－2b(b－4)×，即b2－10b＝0，解得b＝0(舍去)或b＝10.因此a＝14，c＝6.3
