4导数的四则运算法则[A组基础巩固]1．若f(x)＝x2－2x－4lnx，则f′(x)＞0的解集为()A．(0，＋∞)B．(－1,0)∪(2，＋∞)C．(2，＋∞)D．(－1,0)解析：由题意知x＞0，且f′(x)＝2x－2－，即f′(x)＝＞0，∴x2－x－2＞0，解得x＜－1或x＞2.又 x＞0，∴x＞2.答案：C2．设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0＝()A．e2B．eC.D．ln2解析：因为f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1，所以f′(x0)＝lnx0＋1＝2，所以lnx0＝1，即x0＝e.答案：B3．已知f(x)＝x2＋sin，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的大致图像是()解析： f(x)＝x2＋sin＝x2＋cosx，∴f′(x)＝x－sinx，易知f′(x)＝x－sinx是奇函数，其图像关于原点对称，故排除B，D.由f′＝－<0，排除C，故选A.答案：A4．若过函数f(x)＝lnx＋ax上的点P的切线与直线2x－y＝0平行，则实数a的取值范围是()A．(－∞，2]B．(－∞，2)C．(2，＋∞)D．(0，＋∞)解析：设过点P(x0，y0)的切线与直线2x－y＝0平行，因为f′(x)＝＋a，故f′(x0)＝＋a＝2，得a＝2－，由题意知x0>0，所以a＝2－<2.答案：B5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx(e为自然对数的底1数)，则f′(e)等于()A.B．eC．－D．－e解析：由f(x)＝2xf′(e)＋lnx，得f′(x)＝2f′(e)＋，则f′(e)＝2f′(e)＋⇒f′(e)＝－.答案：C6．设f(x)＝－，则f′(1)＝________.解析：f′(x)＝(－)′＝－＋，∴f′(1)＝－1＋＝－.答案：－7．曲线f(x)＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为________．解析： f′(x)＝－3x2＋6x，∴f′(1)＝3.∴曲线y＝－x3＋3x2在点(1,2)处的切线方程为y－2＝3(x－1)，即y＝3x－1.答案：y＝3x－18．已知曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，则a＝________.解析：先求出y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程，然后利用根的判别式或导数法求a的值．解法一 y＝x＋lnx，∴y′＝1＋，y′|x＝1＝2.∴曲线y＝x＋lnx在点(1,1)处的切线方程为y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1. y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切，∴a≠0(当a＝0时曲线变为y＝2x＋1与已知直线平行)．由消去y，得ax2＋ax＋2＝0.由Δ＝a2－8a＝0，解得a＝8.解法二同解法一得切线方程为y＝2x－1.设y＝2x－1与曲线y＝ax2＋(a＋2)x＋1相切于点(x0，ax＋(a＋2)x0＋1)． y′＝2ax＋(a＋2)，∴y′|x＝x0＝2ax0＋(a＋2)．由解得答案：89．设函数f(x)＝ax3＋3x，其图像在点(1，f(1))处的切线l与直线x－6y－7＝0垂直，求直线l与两坐标轴围成的三角形的面积．解析：f′(x)＝3ax2＋3，由题设，得f′(1)＝－6，∴3a＋3＝－6，即a＝－3，∴f(x)＝－3x3＋3x，f(1)＝0，切线l的方程为y－0＝－6(x－1)，即y＝－6x＋6，∴直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为S＝×1×6＝3.10．点P是曲线f′(x)＝x2－lnx上任一点，求P到直线y＝x－2的距离的最小值．解析：曲线上与直线y＝x－2距离最小的点，必定是平行于该直线的切线的切点．设曲线上一点的横坐标是x0(x0>0)，则经过该点的切线的斜率为k＝f′(x0)＝2x0－，∴2x0－＝1，∴x0＝1或x0＝－，又x0>0，∴x0＝1，此时y0＝1.∴切点的坐标为(1,1)，最小距离为＝.[B组能力提升]21．已知f(x)＝x3＋2xf′(3)＋lnx，则f′(3)＝()A.B．－C．9D．－9解析：因为f′(x)＝x2＋2f′(3)＋，所以f′(3)＝32＋2f′(3)＋＝＋2f′(3)，解得f′(3)＝－，故选B.答案：B2．设函数f(x)＝x3＋x2＋tanθ，其中θ∈[0，]，则导数f′(1)的取值范围是()A．[－2,2]B．[，]C．[，2]D．[，2]解析：由已知f′(x)＝sinθ·x2＋cosθ·x，∴f′(1)＝sinθ＋cosθ＝2sin(θ＋)．又θ∈[0，]，∴≤θ＋≤，∴≤sin(θ＋)≤1，∴≤f′(1)≤2.答案：D3．已知函数f(x)＝－x3＋6x2－9x＋8，则过点(0,0)可作曲线y＝f(x)的切线的条数为__________．解析： 点(0,0)不在函数y＝f(x)的图像上，∴点(0,0)不是切点．设切点为P(x0，－x＋6x－9x0＋8)，由f(x)＝－x3＋6x2－9x＋8，可得f′(x)＝－3x2＋12x－9，则f′(x0)＝－3x＋12x0－9，∴－3x＋12x0－9＝，解得x0＝－1或x0＝2，故切线有2条．答案：24．若点P是曲线f(x)＝x2－lnx上任意一点，则点P到直线y＝x－2的距离最小时点P的坐标为________．解析：过点P...
