2-1-1合情推理[课后提升案·素养达成][限时45分钟；满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：①“mn＝nm”类比得到“a·b＝b·a”；②“(m·n)t＝m(n·t)”类比得到“a(b·c)＝b(a·c)”；③“t≠0，mt＝xt⇒m＝x”类比得到“p≠0，a·p＝x·p⇒a＝x”；④“|m·n|＝|m|·|n|”类比得到“|a·b|＝|a|·|b|”；⑤“＝”类比得到“＝”．以上式子中，类比得到的结论正确的个数是A．1B．2C．3D．4解析由向量的知识可得只有①正确．答案A2．下面由火柴棒拼出的一列图形中，第n个图形由n个正方形组成．通过观察可以发现第10个图形中火柴棒的根数是A．30B．31C．32D．34解析第1个图形中有4根火柴棒；第2个图形中有4＋3＝7根火柴棒；第3个图形中有4＋3×2＝10根火柴棒；…第10个图形中有4＋3×9＝31根火柴棒．答案B3．观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝A．28B．76C．123D．199解析观察规律，归纳推理．从给出的式子特点观察可推知，等式右端的值，从第三项开始，后一个式子的右端值等于它前面两个式子右端值的和，照此规律，则a10＋b10＝123.答案C4．定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的1(A)，(B)所对应的运算结果可能是A．B*D，A*DB．B*D，A*CC．B*C，A*DD．C*D，A*D解析由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故图(A)(B)表示B*D和A*C.答案B5．观察下列各式：1＝12，2＋3＋4＝32，3＋4＋5＋6＋7＝52，4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝72，…，可以得出的一般结论是A．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝n2B．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2C．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝n2D．n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－1)＝(2n－1)2解析可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…故第n个式子的第一个数是n；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…故第n个式子中有2n－1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，…故第n个式子应该是2n－1的平方，故可以得到n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…＋(3n－2)＝(2n－1)2.答案B6．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数．比如：2他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数．下列数中既是三角形数又是正方形数的是A．289B．1024C．1225D．1378解析观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{an}，则a1＝1，a2＝a1＋2，a3＝a2＋3，…an＝an－1＋n.所以a1＋a2＋…＋an＝(a1＋a2＋…＋an－1)＋(1＋2＋3＋…＋n)⇒an＝1＋2＋3＋…＋n＝，观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{bn}，则bn＝n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.答案C二、填空题(每小题5分，共15分)7．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________．解析＝＝·＝×＝.答案8．图(1)所示的图形有面积关系：＝，则图(2)所示的图形有体积关系：＝________．3解析由三棱锥的体积公式V＝Sh及相类比可知，＝答案9．若等差数列{an}的首项为a1，公差为d，前n项的和为Sn，则数列为等差数列，且通项为＝a1＋(n－1)·，类似地，请完成下列命题：若各项均为正数的等比数列{bn}的首项为b1，公比为q，前n项的积为Tn，则________．解析 Tn＝b1·b2·b3·…·bn＝bq1＋2＋3＋…＋(n－1)＝bq，∴＝b1q＝b1()n－1，∴数列{}是首项为b1，公比为的等比数列，其通项为＝b1()n－1.答案数列()为等比数列，且通项为＝b1()n－1三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(11分)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－，且Sn＋＋2＝an(n≥2)，计算S1，S2，S3，S4并猜想Sn的表达式．解析因为Sn＋＋2＝an(n≥2)，所以Sn＋＋2＝Sn－Sn－1(n≥2)，所以＝－2－Sn－1(n≥2)，当n＝1时，S1＝a1＝－；当n＝2时，＝－2－a1＝－，所以S2＝－；当n＝3...
