第32练矩阵与变换、坐标系与参数方程[明晰考情]1.命题角度：常见的平面变换与矩阵的乘法运算，二阶矩阵的逆矩阵及其求法，矩阵的特征值与特征向量的求法；极坐标和参数方程的简单综合运用.2.题目难度：中档难度.考点一线性变换、二阶矩阵及其求法方法技巧线性变换问题一般是设变换T：→，求出原曲线在T的变换下得到的曲线，再根据条件求相应的系数值.1.已知变换矩阵A：平面上的点P(2，－1)，Q(－1,2)分别变换成点P1(3，－4)，Q1(0,5)，求变换矩阵A.解设所求的变换矩阵A＝，依题意，可得＝，＝，即解得所以所求的变换矩阵A＝.2.已知M＝，N＝，求二阶矩阵X，使得MX＝N.解设X＝，由题意有＝，根据矩阵乘法法则有解得∴X＝.3.已知曲线C1：x2＋y2＝1，对它先作矩阵A＝对应的变换，再作矩阵B＝对应的变换，得到曲线C2：＋y2＝1，求实数m的值.解BA＝＝，设P(x0，y0)是曲线C1上的任一点，它在矩阵BA变换作用下变成点P′(x′，y′)则＝＝，则即又点P在曲线C1上，则y′2＋＝1，所以m2＝1，所以m＝±1.4.(2017·江苏)已知矩阵A＝，B＝.(1)求AB；(2)若曲线C1：＋＝1在矩阵AB对应的变换作用下得到另一曲线C2，求C2的方程.解(1)因为A＝，B＝，所以AB＝＝.(2)设Q(x0，y0)为曲线C1上任意一点，它在矩阵AB对应的变换作用下变为点P(x，y)，则＝，即所以1因为点Q(x0，y0)在曲线上C1上，所以＋＝1，从而＋＝1，即x2＋y2＝8.因此曲线C1在矩阵AB对应的变换作用下得到曲线C2：x2＋y2＝8.考点二逆变换与逆矩阵、矩阵的特征值与特征向量方法技巧1.由二阶矩阵与向量的乘法及向量相等建立方程组，常用于求二阶矩阵，要注意变换的前后顺序.2.求矩阵M＝就是要求待定的字母，利用条件建立方程组，确立待定的字母的值，从而求出矩阵，待定系数法是求这类问题的通用方法.5.已知矩阵A＝.(1)求A的逆矩阵A－1；(2)若点P在矩阵A对应的变换作用下得到点P′(3,1)，求点P的坐标.解(1)因为A＝，又2×2－1×3＝1≠0，所以A可逆，从而A－1＝.(2)设P(x，y)，则＝，所以＝A－1＝，因此，点P的坐标为(3，－1).6.求矩阵A＝的特征值与属于每个特征值的一个特征向量.解矩阵A的特征多项式为f(λ)＝，令f(λ)＝0，得λ2－5λ－24＝0，所以λ1＝8，λ2＝－3为矩阵A的两个特征值.①当λ1＝8时，解相应线性方程组可任取一解，得λ＝8的一个特征向量α1＝.②当λ2＝－3时，解相应线性方程组可任取一解，得λ＝－3的一个特征向量α2＝.7.(2018·无锡调研)已知二阶矩阵A对应的变换将点M(1,1)变换成M′(3,3)，将点N(－1,2)变换成N′(3,0).(1)求矩阵A的逆矩阵A－1；(2)若向量β＝，计算A3β.解(1)设A＝，则＝＝⇒＝＝⇒解得a＝1，b＝2，c＝2，d＝1，所以A＝，所以A－1＝.(2)矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝(λ－1)2－4＝λ2－2λ－3，令f(λ)＝0，解得λ1＝3，λ2＝－1，从而求得对应的一个特征向量分别为α1＝，α2＝.令β＝mα1＋nα2，求得m＝3，n＝－2，所以A3β＝A3(3α1－2α2)＝3(A3α1)－2(A3α2)＝3(λα1)－2(λα2)＝3·33－2·(－1)3＝.28.(2018·如皋调研)已知矩阵A＝属于特征值λ的一个特征向量为α＝.(1)求实数b，λ的值；(2)若曲线C在矩阵A对应的变换作用下，得到的曲线为C′：x2＋2y2＝2，求曲线C的方程.解(1)由题意得Aα＝λα，即＝λ，解得b＝0，λ＝2.(2)由(1)知，矩阵A＝.设曲线C上的一点P，在矩阵A的作用下得到点P′(x′，y′).＝＝，所以将上式代入方程x′2＋2y′2＝2，得(2x)2＋2(x＋3y)2＝2，整理得3x2＋9y2＋6xy－1＝0.所以曲线C的方程为3x2＋9y2＋6xy－1＝0.考点三曲线的极坐标方程方法技巧曲线极坐标方程的应用一般有两种思路：一是将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；二是将曲线的极坐标方程联立，根据极坐标的意义求解.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.9.在极坐标系中，设直线θ＝与曲线ρ2－10ρcosθ＋4＝0相交于A，B两点，求线段AB中点的极坐标.解方法一将直线θ＝化为直角坐标方程，得y＝x，将曲线ρ2－10ρcosθ＋4＝0化为直角坐标方程，得x2＋y2－10x＋4＝0，联立并消去y，得2x2－5x＋2＝0，解得x1＝，x2＝2，所以AB中点的横坐标为＝，纵坐标为，化为极坐标为.方法二联立直线l与曲线C的极坐标方程，...
