3计算导数[A组基础巩固]1．若f(x)＝，则f′(－1)等于()A．0B．－C．3D.解析：∵f(x)＝＝，∴f′(x)＝，∴f′(－1)＝.故选D.答案：D2．曲线f(x)＝ex在点A(0,1)处的切线斜率为()A．1B．2C．eD.解析：∵f(x)＝ex，∴f′(x)＝ex，∴f′(0)＝1.即曲线f(x)＝ex在点(0,1)处的切线的斜率为1.答案：A3．给出下列结论：①若y＝，则y′＝－；②若y＝3，则y′＝3；③若f(x)＝sinα，则f′(x)＝cosα；④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中，正确的个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对于②y＝3，y′＝，故②错；对于③，f(x)＝sinα，为常数函数，∴f′(x)＝0，故③错；①④都正确．答案：B4．若曲线y＝x4的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－3＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0解析：由题意，知切线l的斜率k＝4，设切点坐标为(x0，y0)，则k＝4x＝4，∴x0＝1，∴切点为(1,1)，所以l的方程为y－1＝4(x－1)，即4x－y－3＝0.答案：A5．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标所围成三角形的面积为()A.e2B．2e2C．e2D.解析：切线方程为y－e2＝e2(x－2)．x＝0时，y＝－e2；y＝0时，x＝1.故切线与坐标轴围成的三角形的面积为×|－e2|×1＝.故选D.答案：D6．若f(x)＝sinx，则f′(2π)＝________.解析：∵f(x)＝sinx，∴f′(x)＝cosx，∴f′(2π)＝cos2π＝1.1答案：17．已知f(x)＝x2，g(x)＝x，且满足f′(x)＋g′(x)＝3，则x的值为__________．解析：因为f′(x)＝2x，g′(x)＝1，所以2x＋1＝3，解得x＝1.答案：18．设直线y＝x＋b是曲线f(x)＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b的值为________．解析：f′(x)＝(lnx)′＝，设切点坐标为(x0，y0)，由题意得＝，则x0＝2，y0＝ln2，代入切线方程y＝x＋b，得b＝ln2－1.答案：ln2－19．一运动物体的位移s(单位：m)关于时间t(单位：s)的函数关系式为s(t)＝t2，求s′(2)，并说明它的意义．解析：∵s(t)＝t2，∴s′(t)＝(t2)′＝2t.∴s′(2)＝2×2＝4.s′(2)＝4说明此运动物体在2s时刻的瞬时速度为4m/s.10．若曲线y＝在点(a，)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，求a的值．解析：∵y＝，∴y′＝－，∴过点(a，)的切线斜率k＝－，∴切线方程为y－＝－(x－a)．令x＝0得y＝；令y＝0得x＝3a.∴该切线与两坐标轴围成三角形的面积S＝·3a·＝＝18，∴a＝64.[B组能力提升]1．已知P为曲线y＝lnx上的一动点，Q为直线y＝x＋1上的一动点，则|PQ|min＝()A．0B.C.D．2解析：如图，当直线l与曲线y＝lnx相切且与直线y＝x＋1平行时，切点到直线y＝x＋1的距离即为|PQ|的最小值．易知(lnx)′＝，令＝1，得x＝1.故此时点P的坐标为(1,0)，所以|PQ|min＝＝.答案：C2．已知0时，方程lnx＝kx无解．3
