（江苏专用）高考数学大一轮复习 第七章 第39课 等差数列要点导学-人教版高三全册数学试题VIP免费

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第七章第39课等差数列要点导学要点导学各个击破等差数列的基本量运算例1已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{an}的前k项和Sk=-35,求k的值.[思维引导](1)由等差数列的通项公式可写出数列{an}的通项公式;(2)先根据等差数列的前n项和公式Sn=1()2nnaa求出其前k项和,再由Sk=-35得到关于k的方程,解此方程可得k值,注意k∈N*.[解答](1)设等差数列{an}的公差为d,则an=a1+(n-1)d.由a1=1,a3=-3,可得1+2d=-3,解得d=-2.从而an=1+(n-1)×(-2)=3-2n.(2)由(1)可知an=3-2n,所以Sn=[1(3-2)]2nn=2n-n2.由Sk=-35,可得2k-k2=-35,即k2-2k-35=0,解得k=7或k=-5.又k∈N*,故k=7.[精要点评]本题还可以用两点式求直线方程的方法求an.设an=an+b,把a1=1,a3=-3分别代入求出a=-2,b=3,得到an=3-2n.例2已知等差数列{an}中的前三项和为12,且2a1,a2,a3+1依次成等比数列,求数列{an}的公差.[思维引导]求得a2的值,设公差d,构造关于d的方程,然后求之.[解答]设等差数列{an}的公差为d,由数列{an}的前3项和为12,得3a2=12,所以a2=4.因为2a1,a2,a3+1成等比数列,所以2a1(a3+1)=22a,即2(a2-d)(a2+d+1)=22a,即d2+d-12=0,解得d=-4或3.[精要点评]在等差数列的运算中,常用的有五个基本量,它们是a1,d,n,an,Sn.掌握这五个基本量之间的各种关系,结合熟练的运算,即可解决等差数列的常见问题.1【题组强化·重点突破】1.在等差数列{an}中,a2=1,a4=5,则数列{an}的前5项和S5=.[答案]15[解析]因为a2=1,a4=5,所以a1+a5=a2+a4=6,所以数列{an}的前5项和S5=155()2aa=245()2aa=52×6=15.2.(2014·福建卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a1=2,S3=12,则a6=.[答案]12[解析]设等差数列{an}的公差为d,由题意得S3=3a1+3d=6+3d=12,所以d=2,a6=a1+5d=12.3.若在公差不为0的等差数列{an}中,a3=10,a3,a7,a10成等比数列,则公差d=.[答案]-58[解析]因为a3,a7,a10成等比数列,所以27a=a3a10.又因为a3=10,公差为d,所以(a3+4d)2=a3(a3+7d),即(10+4d)2=10(10+7d),即8d2+5d=0,所以d=-58或d=0(舍去).4.已知等差数列{an}中,a2=6,a5=15,若bn=a2n,则数列{bn}的第5项是.[答案]30[解析]设等差数列{an}的公差为d,由题意得21516,415aadaad13,3,ad所以an=3+3(n-1)=3n.因为bn=a2n,所以b5=a10=30.5.已知数列{an}是等差数列,若a1+1,a3+3,a5+5构成公比为q的等比数列,则q=.[答案]1[解析]设等差数列{an}的公差为d.因为a1+1,a3+3,a5+5成等比数列,所以(a1+1)(a5+5)=(a3+3)2,即(a1+1)·[a1+1+4(d+1)]=[a1+1+2(d+1)]2,令a1+1=x,d+1=y,则x(x+4y)=(x+2y)2,即x2+4xy=x2+4xy+4y2,所以y=0,即d+1=0,所以q=3131aa=1111aa=1.等差数列的通项公式例3设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,已知4Sn=21na-4n-1,n∈N*,且a2,a5,a142构成等比数列.(1)求证:a2=145a;(2)求数列{an}的通项公式.[思维引导](1)对于4Sn=21na-4n-1,取n=1,可得到a1与a2的关系,即可证得;(2)当n≥2时,由4an=4Sn-4Sn-1=21na-2na-4,可得到an+1与an的关系式,从而可知等差数列{an}的公差,又由a2,a5,a14构成等比数列,从而可求出基本量a1,即可写出其通项公式.[解答](1)当n=1时,4a1=22a-5,22a=4a1+5,因为an>0,所以a2=145a.(2)当n≥2时,4Sn-1=2na-4(n-1)-1,则4an=4Sn-4Sn-1=21na-2na-4,即21na=2na+4an+4=(an+2)2,因为an>0,所以an+1=an+2,an+1-an=2,所以当n≥2时,{an}是公差d=2的等差数列.因为a2,a5,a14构成等比数列,所以25a=a2·a14,即(a2+6)2=a2(a2+24),解得a2=3,由(1)可知,4a1=22a-5=4,所以a1=1,因为a2-a1=3-1=2,所以{an}是首项a1=1、公差d=2的等差数列.所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.[精要点评]等差数列的判断,主要通过等差数列的定义进行判断:an+1-an为常数d,而不能是关于n变化的函数f(n).变式已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn,且4Sn=2na+2an+1,n∈N*,求数列{an}的通项公式.[解答]当n=1时,a1=1.因为4Sn=2na+2an+1,所以4Sn+1=21na+2an+1+1,两式相减得4an+1=21na-2na+2an+1-2an,即(an+1+an)(an+1-an-2)=0.因为数列{an}的各项都是正数,3所以an+1-an=2,所以{an}为首项为1、公差...