７．５解直角三角形学习目标导航知道直角三角形中其余５个元素的关系,会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形．教材知识详析要点１直角三角形的边角关系(１)边和边的关系,可用式子表示为a２＋b２＝c２(即勾股定理);(２)锐角之间的关系,可用式子表示为∠A＋∠B＝９０°(互为余角);(３)边角之间的关系,可用三角函数来表示．锐角A的３个函数关系式为sinA＝ac,cosA＝bc,tanA＝ab．例１在△ABC中,∠C＝９０°,根据表中的数据求出其他元素的值．abc∠A∠B１２３０°４４５°２６０°５３５４２８精析:这是通过表格的形式来解直角三角形．一个表格中包含５道习题,很有代表性．应用的知识包括由两边求第三边的勾股定理,还包括把边角联系起来的三角函数,尤其是特殊的锐角三角函数,必须通过画相应的图形来完成．解答:填表略．要点２解直角三角形根据直角三角形的边角关系,由已知元素求出未知元素的过程．例２在△ABC中,∠C＝９０°,a,b,c分别为∠A、∠B、∠C的对边．根据下列条件解这个三角形:(１)a＝６,b＝６３;(２)a＝３６,∠A＝４５°．精析:(１)根据条件可以先确定∠A或∠B的度数,再求得边c的长度;(２)由条件可以先得∠B的度数,再根据三角函数求出边b,c的长度．解答:(１) 在△ABC中,∠C＝９０°,tanB＝ba＝６３６＝３,∴∠B＝６０°．则∠A＝９０°－∠B＝３０°． sinA＝ac,∴c＝asinA＝１２．(２) 在△ABC中,∠C＝９０°,∠A＝４５°,∴∠B＝９０°－∠A＝４５°． tanA＝ab,a＝３６,∴b＝atanA＝３６． sinA＝ac,a＝３６,∴c＝asinA＝６３．要点３构造直角三角形解题解直角三角形的关键是要灵活选择恰当的方法,找准恰当的关系式,它可以使解题方便快捷．只有对直角三角形中的边角关系熟练掌握了,才能灵活应用．例３一幢房屋的侧面外壁的形状如图７．５Ｇ１(１)所示,它由等腰三角形OCD和矩形ABCD组成,∠OCD＝２５°．外墙壁上用涂料涂成颜色相同的条纹,其中一块的形状是四边形EFGH,测得FG∥EH,GH＝２．６m,∠FGB＝６５°．图７．５Ｇ１(１)(１)求证:GF⊥OC;(２)求EF的长．(结果精确到０．１m)(参考数据:sin２５°＝cos６５°≈０．４２,cos２５°＝sin６５°≈０．９１)精析:通过作高来构造直角三角形,充分利用已知条件和利用矩形的性质来求出EF．解答:(１)设CD与FG交于点M,由CD∥AB,∠FGB＝６５°,可得∠FMC＝６５°,又∠OCD＝２５°,于是在△FMC中,可得∠CFM＝９０°,即GF⊥OC．图７．５Ｇ１(２)(２)过点G作GN⊥HE,则GN＝EF,在Rt△GHN中,sin∠EHG＝sin∠FGB,即GN＝GHsin∠EHG＝２．６sin６５°＝２．６×０．９１＝２．３６６≈２．４m．解直角三角形是本章的重点内容,在历年中考中均占有一席之地,尤其是利用解直角三角形来解决生活中的实际问题,正是体现新课标的理念,不可小视．拉分典例探究综合应用例１(要点２,３)如图,在直角梯形ABCD中,∠A＝９０°,∠B＝１２０°,AD＝３,AB＝６．在底边AB上取点E,在射线DC上取点F,使得∠DEF＝１２０°．(１)当点E是AB的中点时,线段DF的长度是;(２)若射线EF经过点C,则AE的长是．图７．５Ｇ２精析:(１)AE＝１２AB＝３．在Rt△ADE中,tan∠ADE＝AEAD＝３３＝３．所以∠ADE＝６０°．所以DE＝ADcos∠ADE＝３１２＝２３,∠AED＝∠EDF＝∠BEF＝３０°．所以ED＝EF．过点E作EG⊥DC于点G,则DF＝２DG＝２×DEcos３０°＝２×２３×３２＝６．(２)过点C作CH⊥直线AB于点E,那么CH＝AD＝３,由勾股定理,得BH＝１．所以CD＝７．易知△BCE∽△EDC,所以BE∶CE＝CE∶CD．所以CE２＝CD×DC．设BE＝x,则CE２＝７x．在Rt△CEH中,由勾股定理,得CE２＝EH２＋CH２,即(x＋１)２＋３＝７x,解得x＝１或４．当x＝１时,AE＝５;当x＝４时,AE＝２．故AE的长为５或２．解答:(１)６(２)２或５分析对比:本题考查梯形、解直角三角形、勾股定理、相似三角形等知识,应注意知识点的融会贯通．本题具有一定的难度．例２(要点３)机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”,如图７．５Ｇ３所示,“海宝”从圆心O出发,先沿北偏西６７．４°方向行走１３m至点A处,再沿正南方向行走１４m至点B处,最后沿正东方向行走至点C处,点B、C都在圆O上．(１)求...
