高中数学 第二章 变化率与导数 5 简单复合函数的求导法则课后巩固提升 北师大版选修2-2-北师大版高二选修2-2数学试题VIP免费

5简单复合函数的求导法则[A组基础巩固]1．函数y＝2sin3x的导数是()A．2cos3xB．－2cos3xC．6sin3xD．6cos3x解析：y′＝(2sin3x)′＝6cos3x.答案：D2．y＝(3x2＋2x)5的导数是()A．5(3x2＋2x)4(6x＋2)B．(6x＋2)5C．10(3x＋2)4D．5(3x＋2)4(6x＋2)解析：y′＝5(3x2＋2x)4·(3x2＋2x)′＝5(3x2＋2x)4(6x＋2)．答案：A3．y＝log3cos2x的导数是()A．y′＝－2log3e·tanx`B．y′＝2log3e·cotxC．y′＝－2log3cosxD．y′＝解析：y′＝log3e·(cos2x)′＝log3e·2cosx·(cosx)′＝log3e·2cosx·(－sinx)＝－2log3e·tanx，故选A.答案：A4．函数y＝x2cos2x的导数为()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2x解析：y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.答案：B5．某市在一次降雨过程中，降雨量y(mm)与时间t(min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40min的降雨强度为()A．20mmB．400mmC.mm/minD.mm/min解析：f′(t)＝·10＝，∴f′(40)＝＝.答案：D6．若f(x)＝，则f′(0)＝________.解析：∵f′(x)＝(ex－e－x)，∴f′(0)＝0.答案：07．若y＝x2(1＋)，则y′＝________.1解析：y′＝2x(1＋)＋x2(1＋)′＝＋2x.答案：＋2x8．若f(x)＝log3(x－1)，则f′(2)＝________.解析：f′(x)＝[log3(x－1)]′＝，所以f′(2)＝.答案：9．求下列函数的导数：(1)y＝cos(－3x)；(2)y＝(2＋5x)10；(3)y＝ln(1＋x2)．解析：(1)y′＝[cos(－3x)]′＝－sin(－3x)·(－3)＝3sin(－3x)．(2)y′＝[(2＋5x)10]′＝－(2＋5x)10＋·10(2＋5x)9·5＝－＋＝.(3)y′＝[ln(1＋x2)]′＝··(1＋x2)′＝·2x＝.10．求y＝ln(2x＋3)的导数，并求在点(－，ln2)处切线的倾斜角．解析：令y＝lnu，u＝2x＋3，则y′x＝(lnu)′·(2x＋3)′＝·2＝.当x＝－时，y′＝＝1，即在点(－，ln2)处切线的倾斜角的正切值为1，所以倾斜角为.[B组能力提升]1．函数y＝e2x－4在点x＝2处的切线方程为()A．2x－y－3＝0B．2x＋y－3＝0C．ex－y－2e＋1＝0D．ex＋y＋2e－1＝0解析：y′＝2e2x－4，则当x＝2时，y′＝2e0＝2，∴斜率为2.又当x＝2时，y＝e2×2－4＝1，∴切点为(2,1)．∴切线方程为2x－y－3＝0.答案：A2．已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是()A．[0，)B．[，)C．(，]D．[，π)解析：设切点P的坐标为(x0，y0)，因为y′＝()′＝－＝－，故tanα＝y′|x＝x0＝－.因为ex0＋≥2，所以ex0＋＋2≥4，故tanα＝－∈[－1,0)，又α∈[0，π)，所以α∈[，π)．答案：D3．函数y＝sin2x的图像在点A处的切线的斜率是________．解析：因为y＝sin2x，2所以y′＝2sinx(sinx)′＝2sinx·cosx＝sin2x，所以k＝sin＝sin＝.答案：4．已知函数f(x)＝＋ln(x＋1)，其中实数a≠－1.若a＝2，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为________．解析：f′(x)＝＋＝＋.当a＝2时，f′(0)＝＋＝，而f(0)＝－，因此曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y－＝(x－0)，即7x－4y－2＝0.答案：7x－4y－2＝05．求证：定义在R上的偶函数在x＝0处的导数为零．证明：设f(x)为偶函数，即f(－x)＝f(x)．两边对x求导，得f′(－x)·(－x)′＝f′(x)，即－f′(－x)＝f′(x)．令x＝0，有－f′(0)＝f′(0)，所以f′(0)＝0.6．设一质点的运动规律为S(t)＝e1－3tcos(2πt＋)，试求t＝时质点运动的速度v.解析：由S(t)＝e1－3tcos(2πt＋)得S′(t)＝－3e1－3tcos(2πt＋)＋e1－3t[－sin(2πt＋)]·2π＝－3e1－3tcos(2πt＋)－2π·e1－3tsin(2πt＋)，∴S′()＝－3e0cosπ－2πe0sinπ＝3.即当t＝时，质点运动的速度v＝3.3