§3基本不等式3
1基本不等式课后篇巩固探究A组1
已知x,y∈R,下列不等关系正确的是()A
x2+y2≥2|xy|B
x2+y2≤2|xy|C
x2+y2>2|xy|D
x2+y20,y>0,且√2xy≥x+2y2,则必有()A
x=4y解析:因为x>0,y>0,所以x+2y2≥√x·2y,即x+2y2≥√2xy
又√2xy≥x+2y2,所以必有√2xy=x+2y2,所以x=2y
如果正数a,b,c,d满足a+b=cd=4,那么()A
ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一B
ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值唯一C
ab≤c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一D
ab≥c+d,且等号成立时a,b,c,d的取值不唯一解析:因为a+b=cd=4,a+b≥2√ab,所以√ab≤2,所以ab≤4,当且仅当a=b=2时,等号成立
又cd≤(c+d)24,所以(c+d)24≥4,所以c+d≥4,当且仅当c=d=2时,等号成立
所以ab≤c+d,当且仅当a=b=c=d=2时,等号成立,故选A
已知00时,等号成立,所以(2)正确;因为a2+9≥2√a2·9=6a,当且仅当a=3时,等号成立,所以当a=3时,a2+9=6a,所以(3)不正确;因为a2+1+1a2+1≥2√(a2+1)·1a2+1=2,当且仅当a2+1=1a2+1,即a=0时,等号成立,又a>0,所以等号不成立,所以(4)正确
答案:(1)(2)(4)7
若a,b为正实数,a≠b,x,y∈(0,+∞),则a2x+b2y≥(a+b)2x+y,当且仅当ax=by时取等号,利用以上结论,函数f(x)=2x+91-2x(x∈(0,12))取得最小值时,x的值为
解析:由题意可知f(x)=42x+91-2x≥(2+3)22x+(1-2x),
