（浙江专版）高考数学 第1部分 重点强化专题 专题4 立体几何 专题限时集训10 立体几何中的向量方法-人教版高三全册数学试题VIP免费

专题限时集训(十)立体几何中的向量方法(对应学生用书第137页)[建议用时：45分钟]1．如图1011，在四棱锥PABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.图1011(1)求证：PD⊥平面PAB.(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值．(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由．[解](1)证明：因为平面PAD⊥平面ABCD，AB⊥AD，所以AB⊥平面PAD.所以AB⊥PD.2分又因为PA⊥PD，所以PD⊥平面PAB.4分(2)取AD的中点O，连接PO，CO.因为PA＝PD，所以PO⊥AD.又因为PO⊂平面PAD，平面PAD⊥平面ABCD，所以PO⊥平面ABCD.因为CO⊂平面ABCD，所以PO⊥CO.因为AC＝CD，所以CO⊥AD.5分如图，建立空间直角坐标系Oxyz.由题意得，A(0,1,0)，B(1,1,0)，C(2,0,0)，D(0，－1,0)，P(0,0,1).6分设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即令z＝2，则x＝1，y＝－2.所以n＝(1，－2,2).8分又PB＝(1,1，－1)，所以cos〈n，PB〉＝＝－.所以直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.10分(3)设M是棱PA上一点，则存在λ∈[0,1]使得AM＝λAP.11分因此点M(0,1－λ，λ)，BM＝(－1，－λ，λ).12分因为BM⊄平面PCD，所以要使BM∥平面PCD当且仅当BM·n＝0，即(－1，－λ，λ)·(1，－2,2)＝0.解得λ＝.所以在棱PA上存在点M使得BM∥平面PCD，此时＝.15分2．如图1012，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD，E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°.1图1012(1)在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；(2)若二面角PCDA的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.【导学号：68334118】[解](1)在梯形ABCD中，AB与CD不平行．如图(1)，延长AB，DC，相交于点M(M∈平面PAB)，点M即为所求的一个点.2分(1)理由如下：由已知，知BC∥ED，且BC＝ED，所以四边形BCDE是平行四边形，从而CM∥EB.4分又EB⊂平面PBE，CM⊄平面PBE，所以CM∥平面PBE.6分(说明：延长AP至点N，使得AP＝PN，则所找的点可以是直线MN上任意一点)(2)法一：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，从而CD⊥PD，所以∠PDA是二面角PCDA的平面角，所以∠PDA＝45°.7分设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2.如图(1)，过点A作AH⊥CE，交CE的延长线于点H，连接PH，易知PA⊥平面ABCD，从而PA⊥CE，于是CE⊥平面PAH.所以平面PCE⊥平面PAH.11分过A作AQ⊥PH于Q，则AQ⊥平面PCE，所以∠APH是PA与平面PCE所成的角．在Rt△AEH中，∠AEH＝45°，AE＝1，所以AH＝.在Rt△PAH中，PH＝＝，所以sin∠APH＝＝.15分法二：由已知，CD⊥PA，CD⊥AD，PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，于是CD⊥PD.从而∠PDA是二面角PCDA的平面角，所以∠PDA＝45°.又PA⊥AB，所以PA⊥平面ABCD.7分2设BC＝1，则在Rt△PAD中，PA＝AD＝2，作Ay⊥平面PAD，以A为原点，以AD，AP的方向分别为x轴、z轴的正方向，建立如图(2)所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，P(0,0,2)，C(2,1,0)，E(1,0,0)，(2)所以PE＝(1,0，－2)，EC＝(1,1,0)，AP＝(0,0,2).9分设平面PCE的法向量为n＝(x，y，z)，由得设x＝2，解得n＝(2，－2,1).12分设直线PA与平面PCE所成角为α，则sinα＝＝＝，所以直线PA与平面PCE所成角的正弦值为.15分3．在平面四边形ACBD(如图1013(1))中，△ABC与△ABD均为直角三角形且有公共斜边AB，设AB＝2，∠BAD＝30°，∠BAC＝45°，将△ABC沿AB折起，构成如图1013(2)所示的三棱锥C′ABD，且使C′D＝.(1)(2)图1013(1)求证：平面C′AB⊥平面DAB；(2)求二面角AC′DB的余弦值.【导学号：68334119】[解](1)证明：取AB的中点O，连接C′O，DO，在Rt△AC′B，Rt△ADB中，AB＝2，C′O＝DO＝1.又 C′D＝，∴C′O2＋DO2＝C′D2，即C′O⊥OD.2分又 C′O⊥AB，AB∩OD＝O，AB，OD⊂平面ABD，∴C′O⊥平面ABD.4分又 C′O⊂平面ABC′，∴平面C′AB⊥平面DAB.5分(2)以O为原点，AB，OC′所在的直线分别为y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(0，－1,0)，B(0,1,0)，C′(0,0,1)，D，∴AC′＝(0,1,1)，BC′＝(0，－1,1)，C′D＝.6分3设平面AC′D的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则即令z1＝1，则y1＝－1，x1＝，∴n1＝(，－1,1)...