第14讲函数的零点问题1.设x0是函数f(x)=3x+3x-8的一个零点,且x0∈(k,k+1),k∈Z,则k=.2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则实数m=.3.(2018江苏如皋高三上学期调研)一个封闭的正三棱柱容器,高为3,内装水若干(如图甲,底面处于水平状态),将容器放倒(如图乙,一个侧面处于水平状态),这时水面与各棱交点E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,则图甲中水面的高度为.4.(2018江苏南通海安高级中学高三阶段检测)在平面直角坐标系xOy中,设点的集合A={(x,y)|(x-1)2+(y-1)2=a2},B={(x,y)|{x≤3,x+y-4≤0,x-y+2a≥0},且AB,⊆则实数a的取值范围是.5.设α为锐角,若cos(α+π6)=45,则sin(2α+π12)的值为.6.在平行四边形ABCD中,AD=4,∠BAD=π3,E为CD的中点,若⃗AC·⃗BE=4,则AB的长为.7.(2018南京高三学情调研)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,E是BC的中点,求证:(1)平面AB1E⊥平面B1BCC1;(2)A1C∥平面AB1E.8.(2018苏锡常镇四市高三调研)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点(√3,12),(1,√32),点A是椭圆的下顶点.(1)求椭圆C的标准方程;1(2)过点A且互相垂直的两直线l1,l2与直线y=x分别相交于E,F两点,若OE=OF,求直线l1的斜率.2答案精解精析1.答案1解析因为f(1)=3+3-8<0,f(2)=32+6-8>0,且函数f(x)=3x+3x-8单调递增,所以x0∈(1,2),即k=1.2.答案-14解析由题意得m<0,双曲线的标准方程为y2-x2-1m=1,则-1m=4,m=-14.3.答案94解析因为E,F,F1,E1分别为所在棱的中点,所以棱柱EFCB-E1F1C1B1的体积V=S四边形EFCB×3=34S△ABC×3=94S△ABC,设图甲中水面的高度为h,则S△ABC×h=94S△ABC,∴h=94,故答案为94.4.答案[0,√2]解析由AB⊆得集合A中的点都满足B中的不等式组,则a≥0,且{a≤2,a≤√2,a≤2a√2,所以0≤a≤√2.5.答案17√250解析由条件可得cos(2α+π3)=2cos2(α+π6)-1=725,sin(2α+π3)=2425,所以sin(2α+π12)=sin[(2α+π3)-π4]=√22×(2425-725)=17√250.6.答案6解析由点E是DC的中点,得⃗BE=⃗BC+⃗CE=⃗AD-12⃗AB.3所以⃗AC·⃗BE=(⃗AD+⃗AB)·(⃗AD-12⃗AB)=|⃗AD|2-12|⃗AB|2+12⃗AD·⃗AB=16-12|⃗AB|2+12×4×|⃗AB|×12=4,化简得|⃗AB|2-2|⃗AB|-24=0,解得|⃗AB|=6(舍负).7.证明(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC.因为AE⊂平面ABC,所以CC1⊥AE.因为AB=AC,E为BC的中点,所以AE⊥BC.因为BC⊂平面B1BCC1,CC1⊂平面B1BCC1,且BC∩CC1=C,所以AE⊥平面B1BCC1.因为AE⊂平面AB1E,所以平面AB1E⊥平面B1BCC1.(2)如图,连接A1B,设A1B∩AB1=F,连接EF.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四边形AA1B1B为平行四边形,所以F为A1B的中点.又因为E是BC的中点,所以EF∥A1C.因为EF⊂平面AB1E,A1C⊄平面AB1E,所以A1C∥平面AB1E.8.解析(1)由题意得{3a2+14b2=1,1a2+34b2=1,解得{1a2=14,1b2=1,即{a2=4,b2=1,所以椭圆C的标准方程为x24+y2=1.(2)由题意知A(0,-1),直线l1,l2的斜率存在且不为零,设l1:y=k1x-1,与直线y=x联立有{y=k1-1,y=x,得E(1k1-1,1k1-1),4易得直线l2:y=-1k1x-1,同理,F(1-1k1-1,1-1k1-1),因为OE=OF,所以|1k1-1|=|1-1k1-1|,①1k1-1=1-1k1-1,k1+1k1=0无实数解;②1k1-1=-1-1k1-1,k1-1k1=2,k12-2k1-1=0,解得k1=1±√2.综上所得,直线l1的斜率为1±√2.5
