课时跟踪检测（三）常见函数的导数[课下梯度提能]一、基本能力达标1．下列函数求导运算正确的个数为()①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(ex)′＝ex；④′＝x；⑤(cosx)′＝－sinx.A．1B．2C．3D．4解析：选C(3x)′＝3xln3，′＝－，正确的为②③⑤，共3个．故选C.2．若指数函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)满足f′(1)＝ln27，则f′(－1)＝()A．2B．ln3C.D．－ln3解析：选Cf′(x)＝axlna，由f′(1)＝alna＝ln27，解得a＝3，则f′(x)＝3xln3，故f′(－1)＝.3.曲线y＝x3在x＝1处切线的倾斜角为()A．1B．－C.D.解析：选C∵y′＝x2，∴y′|x＝1＝1，∴切线的倾斜角α满足tanα＝1，∵0≤α<π，∴α＝.4.如图，函数y＝f(x)的图象在点P(2，y)处的切线是l，则f(2)＋f′(2)等于()A．－4B．3C．－2D．1解析：选D由图象可得函数y＝f(x)的图象在点P处的切线是l，与x轴交于点(4,0)，与y轴交于点(0,4)，则可知l：x＋y＝4，∴f(2)＝2，f′(2)＝－1，∴f(2)＋f′(2)＝1，故选D.5．若直线y＝x＋b是曲线y＝lnx(x＞0)的一条切线，则实数b的值为()A．2B．ln2＋1C．ln2－1D．ln2解析：选C∵y＝lnx的导数y′＝，∴令＝，得x＝2，∴切点为(2，ln2)．代入直线y＝x＋b，得b＝ln2－1.6．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点(－e，－1)(e为自然对数的底数)，则点A的坐标是________．解析：设A(m，n)，由y＝lnx，得y′＝，∴y′|x＝m＝，则曲线y＝lnx在点A处的切线方程y－n＝(x－m)．又∵切线过点(－e，－1)，∴n＋1＝(m＋e)．又n＝lnm，解得m＝e，n＝1.∴点A的坐标为(e,1)．答案：(e,1)7．函数f(x)＝mx2m＋n的导数为f′(x)＝4x3，则m＋n＝________.解析：f′(x)＝m·(2m＋n)x2m＋n－1.1由题意知解得m＝1，n＝2.故m＋n＝3.答案：38．若f(x)＝x2，g(x)＝x3，则满足f′(x)＋1＝g′(x)的x值为________．解析：由导数的公式知，f′(x)＝2x，g′(x)＝3x2.因为f′(x)＋1＝g′(x)，所以2x＋1＝3x2，即3x2－2x－1＝0，解得x＝1或x＝－.答案：1或－9．求下列函数的导数．(1)y＝lg2；(2)y＝2x；(3)y＝；(4)y＝2cos2－1.解：(1)y′＝(lg2)′＝0.(2)y′＝(2x)′＝2xln2.(3)y′＝(x)′＝x.(4)∵y＝2cos2－1＝cosx，∴y′＝(cosx)′＝－sinx.10．已知点P(－1,1)，点Q(2,4)是曲线y＝x2上的两点，求与直线PQ平行的曲线y＝x2的切线方程．解：∵y′＝(x2)′＝2x，设切点为M(x0，y0)，则当x＝x0时，y′＝2x0.又∵PQ的斜率为k＝＝1，而切线平行于PQ，∴k＝2x0＝1，即x0＝，所以切点为M，∴所求的切线方程为y－＝x－，即4x－4y－1＝0.二、综合能力提升1．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·…·xn的值为()A.B.C.D．1解析：选B对y＝xn＋1(n∈N*)求导得y′＝(n＋1)xn.令x＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k＝n＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(xn－1)．令y＝0，得xn＝，∴x1·x2·…·xn＝×××…××＝，故选B.2．若曲线y＝alnx(a≠0)与曲线y＝x2在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，则＝________.解析：曲线y＝alnx的导数为y′＝，在P(s，t)处的斜率为k＝，曲线y＝x2的导数为y′＝，在P(s，t)处的斜率为k＝.由曲线y＝alnx(a≠0)与曲线y＝x2在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，可得＝，并且t＝＝alns，所以解得lns＝，所以s2＝e.则a＝1，所以＝＝2.答案：23．已知曲线方程为y＝f(x)＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．解：设切点P的坐标为(x0，x)．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0，2∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．将点B(3,5)代入上式，得5－x＝2x0(3－x0)，即x－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0，∴x0＝1或x0＝5，∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，故所求切线方程为y－1＝2(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.4．已知曲线f(x)＝ex，试在曲线上求点P，使其到直线y＝x的距离最短，并求其最短距离．解：根据题意设平行于直线y＝x的直线与曲线y＝ex相切于点(x0，y0)，该切点即为与y＝x距离最近的点，如图．则在点(x0，y0)处的切线斜率为1，即y′|x＝x0＝1.∵y′＝(ex)′＝ex，∴ex0＝1，得x0＝0，因此y0＝1.∴切点P(0,1)．由点到直线的距离公式，得d＝＝.∴点P为(0,1)，且点P到直线y＝x的最小距离为.3
