§3.2.2复数代数形式的乘除运算[限时50分钟，满分80分]一、选择题(每小题5分，共30分)1．若集合A＝{i，i2，i3，i4}(i是虚数单位)，B＝{1，－1}，则A∩B等于A．{－1}B．{1}C．{1，－1}D．Ø解析先化简集合A，再求A∩B.∵A＝{i，i2，i3，i4}＝{i，－1，－i，1}，B＝{1，－1}，∴A∩B＝{－1，1}．答案C2．(2019·全国卷Ⅲ)若z(1＋i)＝2i，则z＝A．－1－iB．－1＋iC．1－iD．1＋i解析由z(1＋i)＝2i，得z＝＝＝＝i(1－i)＝1＋i.故选D.答案D3．(2018·浙江)复数(i为虚数单位)的共轭复数是A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析因为＝＝＝1＋i，所以复数的共轭复数为1－i.故选B.答案B4．已知＝1＋i(i为虚数单位)，则复数z＝A．1＋iB．1－iC．－1＋iD．－1－i解析由＝1＋i，得z＝＝＝＝－1－i，故选D.答案D5．若a为实数，且＝3＋i，则a＝A．－4B．－3C．3D．4解析∵＝3＋i，∴2＋ai＝(3＋i)(1＋i)＝2＋4i，∴a＝4，故选D.答案D6．设a，b，c，d∈R，则复数(a＋bi)(c＋di)为实数的充要条件是A．ad－bc＝0B．ac－bd＝0C．ac＋bd＝0D．ad＋bc＝0解析由复数的乘法可知，(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i为实数，即ad＋bc＝0.故选D.答案D二、填空题(每小题5分，共15分)7．设复数a＋bi(a，b∈R)的模为，则(a＋bi)(a－bi)＝________．解析根据复数的模和复数的乘法解决．1∵|a＋bi|＝＝，∴(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2＝3.答案38．已知a，b∈R，i是虚数单位．若(a＋i)(1＋i)＝bi，则a＋bi＝________．解析由复数相等的定义求得a，b的值，即得复数．由(a＋i)(1＋i)＝bi可得(a－1)＋(a＋1)i＝bi，因此a－1＝0，a＋1＝b，解得a＝1，b＝2，故a＋bi＝1＋2i.答案1＋2i9．设f(z)＝，则f(1－i)＝________．解析f(1－i)＝＝＝＝＝＝.答案－i三、解答题(本大题共3小题，共35分)10．(10分)满足z＋是实数，且z＋3的实部与虚部互为相反数的虚数z是否存在？若存在，求z；若不存在，说明理由．解析设z＝x＋yi，x，y∈R，且y≠0，则z＋＝x＋yi＋＝x＋yi＋＝＋i.∵z＋是实数，z＋3的实部与虚部互为相反数，∴由①∵y≠0，∴x2＋y2＝5.③由②y＝－x－3代入③得x2＋(x＋3)2＝5.∴x2＋3x＋2＝0，∴x＝－1或x＝－2.故或所以存在z＝－1－2i或z＝－2－i满足条件．11．(12分)设复数z满足|z|＝5，且(3＋4i)z是纯虚数，求z的共轭复数z.解析解法一设z＝a＋bi(a，b∈R)．则有＝5，①故(3＋4i)z＝(3a－4b)＋(4a＋3b)i.又∵(3＋4i)z是纯虚数，∴得b＝a，代入①，得a2＋＝25，∴a＝±4.∴或故z＝4－3i，或z＝－4＋3i.解法二令(3＋4i)z＝ki(k∈R且k≠0)，两边取模，得5|z|＝|k|.∵|z|＝5，∴k＝±25.∴当k＝25时，z＝＝4＋3i；当k＝－25时，z＝－4－3i.∴z＝4－3i，或z＝－4＋3i.12．(13分)复数z＝，若z2＋<0，求纯虚数a.2解析z＝＝＝＝1－i.∵a为纯虚数，∴设a＝mi(m≠0)，则z2＋＝(1－i)2＋＝－2i＋＝－＋i<0，∴∴m＝4.∴a＝4i.3
