高中数学 第一讲 相似三角形的判定及有关性质 第四节 直角三角形的射影定理课后导练 新人教A版选修4-1-新人教A版高二选修4-1数学试题VIP免费

第五节直角三角形的射影定理课后导练基础达标1.已知CD是Rt△ABC斜边AB上的高,则下列等式不成立的是()A.CD2=AD·BDB.BC2=BD·ABC.AC2=AD·ABD.AD·AC=BD·BC解析：根据射影定理,A、B、C均正确,只有D无根据.答案:D2.如图1-5-8,在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,AC=12,BC=5,则CD的长为()图1-5-8A.1360B.13120C.1350D.1370解析：AB=135122222BCAC.∵AD·AB=AC2,BD·AB=BC2,∴AD=31442ABAC,BD=13252ABBC.又CD2=AD·BD,∴CD=BDAD=1360.答案:A3.如图1-5-9,已知AB为⊙O直径,弦CD⊥AB,E为垂足,EF⊥BD,F为垂足,若BF=9,DF=3,则AE的长为()图1-5-9A.23B.32C.34D.3解析：连结AD.∵CD⊥AB,EF⊥BD,∴在Rt△BDE中,由射影定理BE2=BF·BD=BF(BF+DF)=9×(9+3)=108.∴BE=108=63.∵AB为直径,∴∠ADB=90°.∴由射影定理得BE·AB=BD2.1∴BE(BE+AE)=BD2.∴63(63+AE)=122.∴AE=23.答案:B4.如图1-5-10,在Rt△ABC中,∠C=90°,CD为AB边上的高,AD=8,DB=2,则CD的长为()A.4B.16C.52D.54图1-5-10解析：∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴CD2=AD·BD=8×2=16.∴CD=4.答案:A5.在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,下列关系中错误的是()A.22ACAB=CDBDB.BD·CD=AD2+BD2C.ACDABDSS=DCBDD.ACDABDSS=22ADBD图1-5-11解析：∵AB2=BD·BC,AC2=CD·BC,∴22ACAB=CDBD,A正确.∵AD2=BD·CD,∴BD·CD≠AD2+BD2,B错误.∵CDBDADCDADBDSSACDABD2121,C正确.∵△ABD∽△CAD,∴ACDABDSS=(ADBD)2=22ADBD,D正确.2答案:B综合运用6.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,CD⊥AB于D,若BC=1,求AB、AC、AD、CD、BD的长.图1-5-12解析：设∠A=x,则∠B=2x,∠C=3x,x+2x+3x=180°,∴x=30°.∴∠A=30°,∠B=60°,∠C=90°.如图1-5-12,Rt△ABC中,∵∠A=30°,∴AB=2BC=2,AC=322BCAB.∵AC2=AD·AB,∴AD=ABAC2=23.∵BC2=BD·AB,∴BD=ABBC2=21,CD=23.7.如图1-5-13,梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥CD,AD、BC与⊙O切于D、C点,AB与⊙O切于E点,求证:OD2=AD·BC.图1-5-13证明:连结OA、OB.∵OD⊥AD,OE⊥AE,∴在Rt△OAE、Rt△OAD中,.,OAOAODOE∴△OAE≌△OAD.∴AD=AE,∠1=∠2.同理,BC=BE,∠3=∠4.∴∠2+∠3=∠1+∠4=90°.在Rt△AOB中,∵OE⊥AB,∴OE2=AE·BE.∴OD2=AD·BC.8.如图1-5-14,已知△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,DE⊥BC于E.3图1-5-14求证:22ACBC=ECBE.证明:∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴BC2=BD·AB,AC2=AD·AB.∴22ACBC=ABADABBD=ADBD.又DE⊥BC,AC⊥BC,∴DE∥AC.∴ADBD=ECBE.∴22ACBC=ECBE.9.如图1-5-15,已知CE是Rt△ABC斜边AB上的高,P是EC延长线上的一点,连结AP,BG⊥AP于G,BG交CE于D.求证:CE2=ED·EP.图1-5-15证明:∵BG⊥AP,∴∠P+∠2=90°.∵PE⊥AB,∴∠P+∠3=90°.∴∠2=∠3.又∠1=∠2,∴∠1=∠3,∠BED=∠PEA=90°.∴△BED∽△PEA.∴EAEDPEBE.∴BE·AE=ED·EP.由射影定理CE2=AE·BE,∴CE2=ED·EP.拓展探究10.求证:(1)若射影定理成立,则勾股定理成立;(2)若勾股定理成立,则射影定理成立.图1-5-164证明:如图,Rt△ABC中,CD为斜边上的高.(1)由射影定理AC2=AD·AB,BC2=BD·AB,∴AC2+BC2=AD·AB+BD·AB=(AD+BD)·AB=AB2,即勾股定理成立.(2)∵AB=AD+BD,∴AB2=(AD+BD)2=AD2+BD2+2AD·BD.∴AB2-AD2-BD2=2AD·BD.∴AC2+BC2-AD2-BD2=2AD·BD.∴(AC2-AD2)+(BC2-BD2)=2AD·BD.∴CD2+CD2=2AD·BD.∴CD2=AD·BD.①∵AC2=CD2+AD2=AD·BD+AD2=AD(BD+AD)=AD·AB,②同理,BC2=BD·AB.③由①②③说明若勾股定理成立,则射影定理成立.备选习题11.△ABC中,∠C=90°,CD是斜边上的高,已知CD=60,AD=25,则BC=_________.图1-5-17解析：由射影定理CD2=AD·BD,602=25·BD,∴BD=144.又BC2=BD·AB=144×(144+25),∴BC=156.答案:15612.如图1-5-18,已知△ABC中,顶点C在AB上的射影为D且AC2=AD·AB,则△ABC是三角形.图1-5-18解析：∵点C在AB上的射影为D,∴CD⊥AB.∴∠ADC=90°.又∵AC2=AD·AB,∴ACABADAC.又∵∠A为公共角,5∴△ACD∽△ABC.∴∠ACB=∠ADC=90°.答案:直角13.如图1-5-19,已知CF是△ABC的边AB上的高,FP⊥BC,FQ⊥AC,求证:∠CQP=∠B.图1-5-19证明:∵CF是△ABC的边AB上的高,∴CF⊥AB.在Rt△ACF中,FQ⊥AC,∴CF2=CQ·CA.在Rt△BCF中,FP⊥BC,∴CF2=CP·CB.∴CQ·CA=CP·CB.∴CACBCPCQ,∠PCQ=∠ACB.∴△PCQ∽△ACB.∴∠CQP=∠B.14.如图1-5-20,已知△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,以BD为直径的⊙O交BC于E,求证:22ACBC=ECBE.图1-5-20证明:连结DE,∵BD是⊙O的直径,∴∠DEB=90°.∵∠ACB=90°,∴DE∥AC.∴ECBE=ADBD.由射影定理BC2=BD·AB,AC2=AD·AB,∴22ACBC=ABADABBD=ADBD.∴22ACBC=ECBE.615.如图1-5-21,已知△ABC中,BD、CE是高,EH⊥BC于H,交BD于G,交CA的延长线于M,求证:HE2=HG·MH.图1-5-21证明:∵CE⊥BE,EH⊥BC,∴由射影定理EH2=BH·CH.∵∠GBH+∠HCM=90°,∠M+∠HCM=90°,∴∠GBH=∠M.又∵∠BHG=∠MHC,∴△BHG∽△MHC.∴HCHGMHBH.∴BH·HC=HG·MH.∴HE2=HG·MH.7