第三章导数及其应用第一节导数的概念与计算1．导数的概念(1)平均变化率一般地，函数f(x)在区间[x1，x2]上的平均变化率为.(2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数①定义：设函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，若Δx无限趋近于0时，此值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在x＝x0处可导，并称该常数A为函数f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)．②几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．(3)函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数．2．基本初等函数的导数公式(sinx)′＝cos_x，(cosx)′＝－sin_x，(ax)′＝axln_a，(ex)′＝ex，(logax)＝，(lnx)′＝.3．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)′＝(g(x)≠0)．[小题体验]1．(教材习题改编)一次函数f(x)＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率为________．解析：由题意得函数f(x)＝kx＋b在区间[m，n]上的平均变化率为＝k.答案：k2．(教材习题改编)如图，函数y＝f(x)的图象在点P处的切线方程是y＝－x＋5，则f(3)＝________，f′(3)＝________.解析：由图知切点为(3,2)，切线斜率为－1.答案：2－13．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，且f(x)＝x＋lnx，则f′(1)＝________.解析：由f(x)＝x＋lnx(x>0)，知f′(x)＝1＋，所以f′(1)＝2.答案：24．(2015·天津高考)已知函数f(x)＝axlnx，x∈(0，＋∞)，其中a为实数，f′(x)为f(x)的导函数．若f′(1)＝3，则a的值为________．解析：f′(x)＝a＝a(1＋lnx)．由于f′(1)＝a(1＋ln1)＝a，又f′(1)＝3，所以a＝3.答案：311．利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．2．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．3．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．[小题纠偏]1．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝2xf′(e)＋lnx，则f′(e)＝________.解析：对关系式f(x)＝2xf′(e)＋lnx两边求导，得f′(x)＝2f′(e)＋，令x＝e，得f′(e)＝2f′(e)＋，所以f′(e)＝－.答案：－2．已知f(x)＝x2＋3xf′(2)，则f(2)＝________.解析：因为f′(x)＝2x＋3f′(2)，所以f′(2)＝4＋3f′(2)，所以f′(2)＝－2，所以f(x)＝x2－6x，所以f(2)＝22－6×2＝－8.答案：－83．已知定义在R上的函数f(x)＝ex＋x2－x＋sinx，则曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程是________．解析：令x＝0，得f(0)＝1.对f(x)求导，得f′(x)＝ex＋2x－1＋cosx，所以f′(0)＝1，故曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝x＋1.答案：y＝x＋1[题组练透]求下列函数的导数．(1)y＝x2sinx；(2)y＝lnx＋；(3)y＝；(4)y＝＋.解：(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx.(2)y′＝′＝(lnx)′＋′＝－.(3)y′＝′＝＝－.(4) y＝＋＝，∴y′＝′＝＝.[谨记通法]求函数导数的3种原则2[命题分析]导数的几何意义是每年高考的必考内容，考查题型既有填空题，也常出现在解答题的第(1)问中，难度偏小，属中低档题．常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值．[题点全练]角度一：求切线方程1．(2016·南通调研)已知f(x)＝x3－2x2＋x＋6，则f(x)在点P(－1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于________．解析： f(x)＝x3－2x2＋x＋6，∴f′(x)＝3x2－4x＋1，∴f′(－1)＝8，故切线方程为y－2＝8(x＋1)，即8x－y＋10＝0，令x＝0，得y＝10，令y＝0，得x＝－，∴所求面积S＝××10＝.答案：角度二：求切点坐标2．若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．解析：由题意得y′＝lnx＋x·＝1＋lnx，直线2x－y＋1＝0的斜率为2.设P(m，n)，则1＋lnm＝2，解得m＝e，所以n＝elne＝e，即点P的坐标为(e，e)．答案：(e，e)角度三：求参数的值3．(2016·南京外国语学校检测)已知函数f(x)＝x...
