初三数学预习圆的对称性知识精讲一.本周教学内容：预习圆的对称性二.主要内容介绍：本课题主要利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理。要求同学们经历探索圆的对称性及其相关性质的过程，体会和理解研究几何图形的各种方法。三.授课过程：首先来看几个问题：（1）圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？（2）你是用什么方法解决上述问题的？在解决上述问题时，大部分同学会采用折叠的方法来研究，这是可以的。当然还可以用其它方法，只要合理即可。经过讨论研究，我们可以得到下面的结论：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。为了更好地研究圆，我们要来认识几个圆中的基本概念。1.圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。如图，以AB为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”。对于大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。如图中2.连结圆上任意两点的线段叫弦。经过圆心的弦叫做直径，如图中线段AB是⊙O的一条弦，弦CD是⊙O的一条直径。再来看一个问题：已知：AB是⊙O的一条弦作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M，（1）下图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系吗？说说理由。同学们可以利用前面利用过的折叠的方法来验证。你们找到了吗？如果没有，先来看一下小明发现的东西吧！他是这样证明的：如图，连接OA、OB，则OA＝OB∴点A和点B关于CD对称∵⊙O关于直径CD对称∴当圆沿着直径CD对折时，点A和点B重合你们觉得小明说得有道理吗？你们还有什么样的方法？由上述的证明，我们可以得到一个定理“垂径定理”。即：“垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。”这个定理在后面的学习中，会结合着其它定理经常用到，希望同学们认真体会其中的道理。再来看另外一个问题：如图中，AB是⊙O的弦（不是直径），作一条平分AB的直径CD，交AB于点M。（1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？（2）你能发现图中有哪些等量关系吗？说说你的理由。我们可以仿照前面小明的证明方法，即：构造等腰三角形，由平分弦得出垂直于弦；然后利用圆的对称性证明平分弦所对的弧。由上述的证明，我们可以得到垂径定理的逆定理。即：“平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。”同学们，可否思考一下定理中，平分弦的这个弦，为什么不是直径呢？学习了上面两个定理，我们来看一个例题：分析：题目中的条件，已构成了垂径定理。又已知EF＝90m，它只是半径的一小部分。利用线段的加法，可以得到OF的值，但需设半径为x，即OF＝x－90这样Rt△COF中的三条线段即可构成勾股定理，形成方程，求出半径。解：连结OC根据勾股定理，得：解这个方程得：R＝545所以，这段弯路的半径是545米。1.在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到AB的距离为3cm，求⊙O的半径。2.在半径为50mm的⊙O中，有长80mm的弦，请计算：（1）点到弦的距离；（2）的度数。3.在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D。求证：AC＝BD4.已知：OC是⊙O的半径，弦AB⊥OC于E，CE＝1，AB＝10，求OB。5.如图，M为⊙O内一点，利用尺规作图作一条弦AB，使AB过点M，并且AM＝MB。6.一个残破的车轮，测得它所剩下圆弧两端点间的距离，弧的中点到弧所对弦的距离，如果需要加工与原来大小相同的车轮，那么这个车轮的半径是多少？（结果精确到0.001m）[参考答案]1.连结OB2.过O作OC⊥AB3.过O作OM⊥CD在大圆中，在小圆中，即4.解：连结OB在中，即：5.连结OM，过M作AB⊥OM，与⊙O相交于A、B两点，AB即为所求。6.解：连结OE，与CD交于F设半径OD为x在中，答：半径约为0.384m。
