期末复习：一元二次方程一、内容综述：二、例题分析：例1.选择简便的方法解下列方程：(1)(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)(2)4x2-20x+25=7(3)2(1+x)2=20.48(4)3x2-4x-1=0解：(1)(3x-1)(x-2)=(4x+1)(x-2)(3x-1)(x-2)-(4x+1)(x-2)=0(x-2)(3x-1-4x-1)=0(x-2)(-x-2)=0∴x1=2,x2=-2.注意：方程的左、右两边都有因式(x-2)，不能把方程两边同时除以(x-2)，这样变形会丢根，若把括号打开，整理成一般式再去解，较为麻烦，应选用因式分解法解。(2)方程左边是完全平方式，利用直接开平方法解较为简便。(2x-5)2=7,2x-5=或2x-5=-∴x1=,x2=.(3)方程左边不能打开括号，化为一般式，较为复杂，应把方程两边同除以2，再用直接开平方法求解：(1+x)2=10.24,1+x=±3.2,∴1+x=3.2或1+x=-3.2,x=2.2或x=-4.2.(4)方程左边在有理数范围内不能进行因式分解，用公式法，3x2-4x-1=0，x==.∴x1=,x2=.例2.求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。分析：根的存在性由根的判别式确定，所以先求出关于x的方程的根的判别式，然后只需说明判别式是一个负数，就证明了该方程没有实数根。证明：Δ=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4)=4m2-4(m4+5m2+4)=-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4)=-4(m2+2)2∵不论m取任何实数(m2+2)2>0∴-4(m2+2)2<0,即Δ<0.∴关于x的方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有实数根。例3.在ΔABC中，∠C=90°，a、b、c分别为ΔABC的三边，且a-b=2,b∶c=3∶5,且二次方程x2-2(k+1)x+k2+12=0两实根的平方和是ΔABC斜边的平方，求k的值。分析：题目中给了边之间的两个关系，a-b=2,b∶c=3∶5，再利用勾股定理a2+b2=c2，可求出a、b、c,根据方程两实根的平方是ΔABC斜边的平方的条件，列出含k的关系式，就可以求出k值。注意要检验二次方程是否有实根。解：根据题意，在直角三角形ΔABC中，∵设b=3k,c=5k,∴a=4k,∴4k-3k=2,∴k=2.∴a=8,b=6,c=10.又∵二次方程x2-2(k+1)x+k2+12=0两根为x1,x2,∴x12+x22=c2,x1+x2=2(k+1),x1x2=k2+12,∴(x1+x2)2-2x1x2=100即：[2(k+1)]2-2(k2+12)=100∴整理得k2+4k-60=0,∴k1=-10,k2=6.当k1=-10时，Δ=4(k+1)2-4(k2+12)<0，舍去。当k2=6时，Δ=4(k+1)2-4(k2+12)>0,Δ>0,符合题意，∴k的值为6。说明：由根与系数的关系得到关于所求字母的方程，从而求出字母的取值，是常见的方法，在一些综合题目中，也常涉及。例4.已知：关于x的一元二次方程mx2-nx+2=0两根相等，方程x2-4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍，求(1)m、n的值；（2）判断方程x2-(k+n)x+(k-m)=0是否有实根。解：（1）关于x的一元二次方程mx2-nx+2=0两根相等，∴Δ=n2-8m=0,又∵方程x2-4mx+3n=0的一个根是另一个根的3倍，设一根为x1,则另一根为3x1,∴x1·3x1=3n,∴x12=n,又∵x1+3x1=4m,∴x1=m,∴m2=n∴.（1）代入（2）m4-8m=0,∴m=0或m=2.∵关于x的一元二次方程，mx2-nx+2=0(m≠0),∴m=0舍去，∴当m=2,n=4.（2）∵方程x2-(k+n)x+(k-m)=0有实根，∴Δ=(k+n)2-4(k-m)=(k+4)2-4(k-2)=k2+8k+16-4k+8=k2+4k+24=(k+2)2+20>0即Δ>0.∴方程有两个不相等的实数根。综上所述：方程这一章的内容在初三阶段是较简单的一部分，但它是学习函数的基础，另外根与系数的关系又常与其它内容综合在一起，所以一定要引起足够重视！
