基本不等式及其简单应用VIP专享VIP免费

基本不等式及其简单应用一．基础知识1．算术平均数，几何平均数a>0，b>0时，称为a，b的算术平均数；称为a，b的几何平均数．2．基本不等式及其变形：（1）基本不等式：≥（a,b>0）(当且仅当________时取“＝”号）即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．（2）常见变形：①(a,b>0)(当且仅当时取“＝”号）②(a,b>0)(当且仅当时取“＝”号）③a2＋b22ab(a、bR）(当且仅当时取“＝”号）④a2＋b22|ab|(a、bR)(当且仅当时取“＝”号)⑤(a、bR)(当且仅当时取“＝”号)⑥(ab>0)(当且仅当时取“＝”号)⑦(k>0)(当且仅当时取“＝”号)问：k<0?3．利用基本不等式求最值已知x、y，x＋y＝P，xy＝S.有下列命题：(1)如果S是定值，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值．(2)如果P是定值，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值．4.利用基本不等式求最值时，必须满足三个条件：①_______；②_______；③________即：第一注意：a>0,b>0;第二注意：积为定值或和为定值；第三注意：等号成立的条件。例1．（1）若x>0,则的最小值是_________;若x<0,则的最大1值是________（2）已知x>2,则的最小值是__________；若，则的最小值是____________（3）已知a>0,b>0,且4a+b=1,则ab的最大值是___________________；（4）已知x>0,y>0,且x+y=1,则的最小值是___________________。(5)已知的最小值为________________(6)已知两正数x,y满足x+y=1,求的最小值.(7)已知的最小值及此时的x,y的值。例2．若正数a，b满足ab=a+b+3，求ab的取值范围。练习：1.设x，y∈R+，且xy－(x＋y)＝1，则的取值范围是_________；的取值范围是_________2.设a,b,c,a+b+c=10,a+bc-1=0,则a的范围是______________例3.某建筑的金属支架如图所示，根据要求至少长2.8m，为的中点，到的距离比的长小0.5m，，已知建筑支架的材料每米的价格一定，问怎样设计的长，可使建造这个支架的成本最低？2BACD地面例4.甲、乙两地相距240千米,汽车从甲地匀速行驶到乙地,速度不得超过60千米/时.已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成:可变部分与速度v(千米/时)的平方成正比,比例系数为b；固定部分为a元.⑴全程运输成本把y(元)表示为速度v(千米/时)的函数,并指出这个函数的定义域;⑵为了使全程运输成本最小,汽车应以多大速度行驶?课后作业：1．若x>0,y>0且，则xy的最小值是2．若x、y且x+3y=1，则的最大值3．点（x，y）在直线x+3y-2=0上，则最小值为4．若数列{}的通项公式是则数列{}中最大项5．设a，b，a+2b=3，则最小值是6．当x>1时，则y=x+的最小值是7．已知不等式（x+y）对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x=吨.39.若，且，求的最小值。10.设满足且则的最大值是。11.某厂用98万元引进设备投入生产，第一年需各种费用12万元，从第二年开始，费用会比上一年增加4万元，而利润为50万元。⑴引进该设备多少年后开始盈利？⑵引进该设备若干年后，有两种处理方案：①年平均盈利最大时，以26万元的价格卖出；②盈利总额最大时，以8万元的价格卖出，那种方案合算，说明理由。12.某游泳馆出售冬季游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次．某班有48名同学，老师们打算组织同学们集体去游泳，除需要购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名同学，每次的包车费均为40元，若使每个同学游泳8次，每人最少交多少钱？4