解直角三角形中的数学思想一方程思想(教材P85活动2利用测角仪测量塔高)(1)在塔前的平地上选择一点A，用活动1中制作的测角仪测出你看塔顶的仰角α(图1)；(2)在A点和塔之间选择一点B，测出你由B点看塔顶的仰角β；(3)量出A，B两点间的距离；(4)计算塔的高度．图1解：设AB＝m，测角仪的高度为h，则塔的高度为＋h.【思想方法】运用锐角三角函数的概念，得到边角之间的关系，然后再利用锐角三角函数的知识构造方程求解，这是解直角三角形的应用中常见的方法．图2如图2，线段AB，CD分别表示甲、乙两建筑物的高，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B，C，从B点测得D点的仰角α为60°，从A点测得D点的仰角β为30°，已知甲建筑物的高度AB＝34米，求甲、乙两建筑物之间的距离BC和乙建筑物的高度DC.(结果保留根号)解：作AE⊥DC于E AB⊥BC，DC⊥BC∴四边形ABCE为矩形∴CE＝AB＝34，BC＝AE设DE＝x米，在Rt△ADE中，＝tan30°，∴AE＝x米在Rt△BCD中，＝tan60°∴＝tan60°解得，x＝17∴BC＝x＝17米，DC＝(x＋34)米＝(17＋34)米＝51米．“一炷香”是闻名中外的恩施大峡谷的著名景点．某校综合实践活动小组先在峡谷对面的广场上的A处测得“香顶”N的仰角为45°，此时，他们刚好与“香底”D在同一水平线上，然后沿着坡度为30°的斜坡正对着“一炷香”前行110米，到达B处，测得“香顶”N的仰角为60°。根据以上条件求出“一炷香”的高度．(测角器的高度忽略不计，结果精确到1米，参考数据：≈1.414，≈1.732)．图3解：过点B分别作BC⊥AD，BE⊥ND，垂足分别为C，E。设BE＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∴BC＝AB＝55，AC＝AB＝55，∴AD＝55＋x。在Rt△NBE中，∠BEN＝90°，∠NBE＝60°，tan∠NBE＝，∴NE＝BE，即NE＝x，∴DN＝x＋55。 在Rt△AND中，∠ADN＝90°，∠NAD＝45°，∴AD＝DN，∴55＋x＝x＋55，解得x＝55。∴DN＝55＋55≈150(米)。答：“一炷香”的高度约为150米。A，B两市相距150千米，分别从A，B处测得国家级风景区中心C处的方位角如图4所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的圆，tanα＝1.627，tanβ＝1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接A，B两市的高速公路．问连接AB高速公路是否穿过风景区，请说明理由．图4解：AB不穿过风景区．如图，过C作CD⊥AB于D，∴AD＝CD·tanα；BD＝CD·tanβ.由AD＋BD＝AB，得CD·tanα＋CD·tanβ＝AB.∴CD＝＝＝＝50(千米)． CD＝50＞45，∴高速公路AB不穿过风景区．二转化思想(教材P88例4)如图5，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高(结果保留小数点后一位)?图5解：如题图，α＝30°，β＝60°，AD＝120. tanα＝，tanβ＝，∴BD＝AD·tanα＝120×tan30°＝120×＝40，CD＝AD·tanβ＝120×tan60°＝120×＝120，∴BC＝BD＋CD＝40＋120＝160≈277.1.答：这栋楼高约为277.1m.【思想方法】转化与化归的思想，就是研究和解决有关直角三角形的边角关系问题时，借助直角三角形的性质，将已知条件或问题通过变换加以转化，进而达到解决问题的目的，这种等价转化总是将抽象转化为具体，复杂转化为简单，未知转化为已知，通过变换迅速而合理地寻找和选择解决问题的途径和方法．[2012·广安]如图6，2012年4月11日，中国渔民在中国南海黄岩岛附近捕鱼作业，中国海监船在A地侦察发现，在南偏东60°方向的B地，有一艘某国军舰正以每小时13海里的速度向正西方向的C地行驶，企图抓捕正在C地捕鱼的中国渔民．此时，C地位于中国海监船的南偏东45°方向10海里处，中国海监船以每小时30海里的速度赶往C地救援我国渔民，能不能及时赶到？(参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)图6解：过点A作AD⊥BC的延长线于点D， ∠CAD＝45°，AC＝10海里，∴△ACD是等腰直角三角形，AD＝CD＝＝＝5(海里)．在Rt△ABD中， ∠DAB＝60°，∴BD＝AD·tan60°＝5×＝5(海里)，∴BC＝BD－CD＝(5－5)海里． 中国海监船以每小时30海里的速度航行，某国军舰以每小时13海里的速度航行，∴海监船到达C地所用的时间t1＝＝≈0.3(时)，某国军舰到达C地所用的时间t2＝＝≈0.4(...
