宜城三中2012—2013学年度高二下学期数学期中考试试卷（理科）命题人：官雄平时间：120分钟总分：150分一､选择题:(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.下列命题既是全称命题又是真命题的个数是()①所有的质数（素数）都是奇数;②∀x∈R,(x-1)2+1≥1;③有的无理数的平方还是无理数.A.0B.1C.2D.32．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是（）A．x–y=0B.x+y=0C.|x|=|y|D.y=|x|3．已知椭圆192522yx上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则|ON|等于（）A.2B.4C.8D.234．已知点，则点A关于X轴对称的点的坐标为（）A．(−3,−1,4)B．(−3,−1,−4)C．(3,1,4)D．(3,−1,−4)5.若n＝(1，－2,2)是平面的一个法向量，则下列向量能作为平面法向量的是()A．(1，－2,0)B．(0，－2,2)C．(2，－4,4)D．(2,4,4)6.已知a、b、c是两两垂直的单位向量，则|a－2b＋3c|=()A．14B.C．4D．27．抛物线y2＝8x的焦点到准线的距离是()A．1B．2C．4D．88．下列各组向量中不平行的是（）A．⃗a=(1,2,−2),⃗b=(−2,−4,4)B．⃗c=(1,0,0),⃗d=(−3,0,0)C．⃗e=(2,3,0),⃗f=(0,0,0)D．⃗g=(−2,3,5),⃗h=(16,24,40)9．条件p：x>1，y>1，条件q：x+y>2，xy>1，则条件p是条件q的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件10已知F是椭圆12222byax(a>b>0)的左焦点,P是椭圆上的一点,PF⊥x轴,OP∥AB(O为原点),则该椭圆的离心率是()A.22B.42C.21D.23二､填空题:(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.抛物线的焦点坐标是12.若向量⃗a=2⃗i−⃗j+⃗k,⃗b=4⃗i+9⃗j+⃗k,，则这两个向量的位oxyBPAF置关系是______13．已知|a|＝2，|b|＝，a·b＝－，则〈a，b〉=__14.椭圆5522kyx的一个焦点是)2,0(，那么k15.已知命题p:∀x∈R,ax2+2x+3>0,如果命题¬p是真命题,那么实数a的取值范围是________.三、解答题：(解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤)16.已知命题p:“∀x∈[1,2],x2-a≥0”,命题q:“∃x0∈R,x20+2ax0+2-a=0”,若命题“p且q”是真命题,求实数a的取值范围.”17．已知△ABC中，A、B的坐标分别是(–5,0)、(5,0)，边AC、BC所在直线的斜率之积为–，求顶点C的轨迹方程.18．已知与垂直，且与垂直，求〈〉19.已知命题p:“对m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥恒成立”;命题q:“不等式x2+ax+2<0有解”.若p是真命题,q是假命题,求a的取值范围.20．在棱长AB＝AD＝2，AA1＝3的长方体ABCD－A1B1C1D1中，点E是平面BCC1B1上的动点，点F是CD的中点．试确定点E的位置，使D1E⊥平面AB1F.21.已知，椭圆C过点A，两个焦点为(－1,0)，(1,0)．(1)求椭圆C的方程；(2)E，F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值2012--2013高二下学期期中考试数学答案(理科)12345678910BCBACBCDAA11.12.垂直13.14.115.a≤16.解:由“p且q”是真命题,则p为真命题,q也为真命题.（2分）若p为真命题,a≤x2恒成立,∵x∈[1,2],∴a≤1.（4分）若q为真命题,即x2+2ax+2-a=0有实根,Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≥1或a≤-2,（8分）综上所求实数a的取值范围为a≤-2或a=1.（12分）17．解：设C(x,y),则（x≠±5）（4分）由11,2552ACBCyykkxx得（8分）所以动点C的轨迹方程为(x≠±5）（12分）18.(a＋3b)·(7a－5b)＝7|a|2－15|b|2＋16a·b＝0，（3分）(a－4b)(7a－2b)＝7|a|2＋8|b|2－30a·b＝0，（6分）解得：|b|2＝2a·b＝|a|2，（8分）∴cos〈a，b〉＝＝，（10分）∴〈a，b〉＝60°.（12分）19.解:∵m∈[-1,1],∴∈[2,3].（2分）∵对m∈[-1,1],不等式a2-5a-3≥恒成立,可得a2-5a-3≥3,（4分）∴a≥6或a≤-1.故命题p为真命题时,a≥6或a≤-1.（6分）又命题q:不等式x2+ax+2<0有解,∴Δ=a2-8>0,∴a>2或a<-2.（8分）从而命题q为假命题时,-2≤a≤2,∴命题p为真命题,q为假命题时,a的取值范围（10分）为-2≤a≤-1.（12分）20.解:建立空间直角坐标系如图，则A(0,0,0)，F(1,2,0)，B1(2,0,3)，D1(0,2,3)，设E(2，y，z)⇒D1E＝(2，y－2，z－3)，AF＝(1,2,0)，AB1＝(2,0,3)，（4分）∵D1E⊥平面AB1F，∴（8分）即，解得（11分）∴E(2,1，)即为所求．（13分）21.解:(1)由题意c＝1，（2分）由定义|F1A|＋|F2A|＝＋＝4＝2a，∴a＝2，∴b＝，（4分）∴椭圆方程为＋＝1.（6分）(2)设直线AE方程为：y＝k(x－1)＋，代入＋＝1得(3＋4k2)x2＋4k(3－2k)x＋42－12＝0（8分）设E(xE，yE)，F(xF，yF)，因为点A在椭圆上，所以xE＝，yE＝kxE＋－k（10分）又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以－k代k，可得xF＝，yF＝－kxF＋＋k.（12分）所以直线EF的斜率kEF＝＝＝，即直线EF的斜率为定值，其值为.（14分）
