1.函数f(x)在定义域内的图象如图所示，记f(x)的导函数为f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为()A.∪[1,2)B.∪C.∪[2,3)D.∪∪答案C解析不等式f′(x)≤0的解集即为函数f(x)的单调递减区间，从图象中可以看出函数f(x)在和[2,3)上是单调递减的，所以不等式f′(x)≤0的解集为∪[2,3)，答案选C.2.函数y=g(x)与f(x)＝-|lnx|关于(1,0)对称。下列区间中，y=g(x)在其上为增函数的是()A．(－∞，1]B．[－1，]C．[0，)D．[1,2)答案D3.对于R上可导的任意函数f(x)，若满足(x－1)f′(x)≥0，则必有()A．f(0)＋f(2)<2f(1)B．f(0)＋f(2)≤2f(1)C．f(0)＋f(2)≥2f(1)D．f(0)＋f(2)>2f(1)答案D解析当x≥1时，f′(x)≥0，f(x)为增函数，∴f(2)>f(1)，当x≤1时，f′(x)≤0，f(x)为减函数，∴f(0)>f(1)，∴f(0)＋f(2)>2f(1).4.若函数f(x)＝x3－6bx＋3b在(0,1)内有最小值，则实数b的取值范围是()A．(0,1)B．(－∞，1)C．(0，＋∞)D.答案D解析f(x)在(0,1)内有最小值，即f(x)在(0,1)内有极小值，f′(x)＝3x2－6b，由题意，得函数f′(x)的草图如图，∴即解得0
0，且a≠1)．当23，∴－b<－3，∴2－b<－1，∴loga2＋2－b<0，即f(2)<0.∵1<<，30，∴f(3)>0，即f(2)·f(3)<0.由x0∈(n，n＋1)，n∈N*知，n＝2.7.设函数2()()fxgxx，曲线()ygx在点(1,(1))g处的切线方程为21yx，则曲线()yfx在点(1,(1))f处切线的斜率为．8.已知f(x)＝asinx＋b＋4(a，b∈R)，且f[lg(log210)]＝5，则f[lg(lg2)]＝________.答案3解析lg(log210)＝－lg(lg2)，f(－x)＝asin(－x)＋b＋4＝－(asinx＋b)＋4.又f[lg(log210)]＝5，∴f[lg(lg2)]＝4－5＋4＝3.9．把一个周长为12cm的长方形围成一个圆柱，当圆柱的体积最大时，该圆柱的底面周长与高的比为________．答案2∶1解析设圆柱高为x，底面半径为r，则r＝，圆柱体积V＝π2x＝(x3－12x2＋36x)(00，函数f(x)单调递增；当x∈(－1,3)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；当x∈(3,5]时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．所以函数f(x)的极小值为f(3)＝－24，极大值为f(－1)＝8.而f(－2)＝1，f(5)＝8，函数图象大致如图所示．故要使方程g(x)＝f(x)－m在x∈[－2,5]上有3个零点，只需函数f(x)在[－2,5]内的函数图象与直线y＝m有3个交点，故即m∈[1,8)．12.设函数其中为自然对数的底数，.(Ⅰ)当a=1时，求函数f(x)的最小值；(Ⅱ)证明：对任意正数，都有x1lnx1+x2lnx2≥(x1+x2)[ln(x1+x2)−ln2]；解：(Ⅰ)a=1时，f(x)=xlnx+(1−x)ln(1−x)(00，f(x)在(12,1)是增函数；∴f(x)在x=12时取得最小值，即f(12)=ln12(Ⅱ)x1lnx1+x2lnx2−(x1+x2)[ln(x1+x2)−ln2]∵2x1x1+x2+2x2x1+x2=2，不妨设2x1x1+x2=1−b（其中0≤b<1），则2x2x1+x2=1+b原式=(x1+x22)[ln(1−b)(1+b)+bln1+b1−b]=(x1+x22)ln(1+b)b+1(1−b)b−1∵(1+b)b+1(1−b)b−1≥1,x1,x2∈R+，∴(x1+x22)ln(1+b)b+1(1−b)b−1≥0∴x1lnx1+x2lnx2−(x1+x2)[ln(x1+x2)−ln2]≥0∴x1lnx1+x2lnx2≥(x1+x2)[ln(x1+x2)−ln2]
