1/11九年级数学同步辅导与测试——正多边形和圆重点、难点：1.正多边形的定义：各边相等、各内角也相等的多边形叫正多边形。2.正多边形与圆的关系（1）把圆分成n（n≥3）等份，有如下结论：其一：依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形，这圆是正n边形的外接圆。其二：经过各分点作圆的切线以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形，这圆是正n边形的内切圆。（2）任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。3.有关的概念（1）正多边形的中心（2）正多边形的半径（3）正多边形的边心距（4）正多边形的中心角4.正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形。这里我们设：正n边形的中心角为α，半径为R，边心距为r，边长为an，周长为Pn，面积为Sn，则有（）；（）；（）；（）；（）；（）；1360221803180414561212222naRnrRnRraPnaSnrarPnnnnnnnsincos（）正多边形的每一个内角，内角和721802180()().nnn5.每一个正多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它还是中心对称图形。6.重点和难点：（1）重点是正多边形的计算问题，计算通常是通过解直角三角形来解决的，所以在解这类题时，要尽量创造直角三角形，把所求的问题放到直角三角形中去，尤其是含30°、60°角的直角三角形和等腰直角三角形更重要。（2）难点是灵活运用正多边形的知识和概念解题。〖知识总结〗正多边形的定义要理解后记牢，这里各边都相等，各角都相等，缺一不可，边数一样多的正多边形是相似多边形。2/11对于任意三角形来讲都有外接圆和内切圆，但注意只有正三角形的外接圆和内切圆是同心圆。有关正多边形的计算实质是把问题转化为解直角三角形的计算，所以这里要用到三角函数及勾股定理等有关知识。要注意线段的转化，如圆内接三角形的半径（即该圆的半径）又是该圆外切正三角形的边心距，掌握了这些变化，有利于运算求值的一些计算。〖巩固提高〗已知：四边形ABCD内接于圆O，且ACBD于E，求证：ABBCCDDA2222为定值。ADBCOE图7—20分析：本题可用特殊值法探求定值，因为A、B、C、D在AC⊥BD的制约下是圆上任意点，所以E随之运动，当E运动到圆心O这一特殊位置时，不难得到AB2+BC2+CD2+DA2的定值，由于图形中元素便于用数量关系表示，所以采用计算法较好。证明：设，则ADBCAD90在中，由正弦定理有ABDABR2sin在中，有CDCDRR2902sin()cosABCDRRRR2222222224(sin)(cos)()同理BCADRR222224()ABBCCDDARRR2222222448为定值。说明：此例中用到正弦定理，即BCaAbBcCR中，sinsinsin2其中、、是的三边，是外接圆的直径，正弦定理很常用，也很好证。abcBCRBC23/11OBCAA'图7—21证法如下：如图—，的对边为，连结并延长交圆于，连结721AaBOBOOAAC''ABACB''是直径，90在当中，RtACBABCABaR'sin''2BCBCAA，'sinsinAaRaAR22，即同理可证，bBRcCRsinsin22aAbBcCRsinsinsin2【例题分析】例1.求半径为2cm的圆内接正三角形的边长及面积。BADOC图7—14解：如图7—14，O为正ABCODABD的中心，于.AOBAOD360312060，AOcmADAOcm2602323，sin()即又，ABcmODOAcm23602121()cos()4/11在中，边上的高ABCABCDCOODcm213()SABCDcmABC1212233332().正三角形的边长为，面积为ABCcmcm23332.例2.一个圆内接正方形的边心距为r，求该圆的外切正六边形的边长。分析：由题意画图7—15，AB是圆O的内接正方形的一边，CD是外切正六边形的一条边，通过OM可求出圆O的半径OA，然后再找OA与CD的关系。DCAMBO图7—15解：如图，AB是圆O内接正方形的一条边，OMrAr，2CDO为圆外切正六边形的一条边，COD360660OACDAOC，且30ACOArrtan3023363圆的外切正六边形的边长为Or236.例3.如图7—16，AB是半圆的直径，C、D是AB的三分之一点，若半径为R，求阴影部分的面积。CDABO图7—165/11解：连结CD、OC、OD。CDABACDBCDAB、是的三分之一点，，//平行线间的距离处处相等，与有相等的高。OCDCBDSSSSOCDCBDOCD阴影扇形SRSROCD扇形阴影161622例4.如图7—17，矩形ABCD中，AD=2AB=2，以D为圆心，以DA为半径的弧交BC于F交DC延长线于E，求阴影部分面积。ABFCED图7—17解：连结DF，ADDFDEADABDFDCCD22221，，DCFDFC9030，ADBCADF//，...
