初三数学用几何图示法解代数问题 试题VIP免费

初三数学用几何图示法解代数问题黄儿娇很多代数问题用纯代数知识来解答很繁琐，也很难解决。因此，许多代数问题用几何图示法来解决非常容易，下面列举几例进行探讨。一.线段图示法例1.甲、乙两车分别从A、B两地同时出发，相向而行，相遇时，甲车在已过中点15千米处，相遇后甲车再行时到达B地，乙车又行了2时到达A地，求甲、乙两车每时各行多少千米？分析：行程问题有三个基本量：路程、速度、时间，且有基本关系：路程=速度×时间。本题设甲车的速度为x千米/小时，乙车的速度为y千米/小时，由于同时出发到相遇时，甲车在已过（如图1）所示的线段AB中点M的15千米处C点，继续前进后，甲车行的距离为千米，乙车行的距离为CA=2y千米。因此，甲车开始行驶的距离AC的时间为时与乙车开始行驶的距离BC的时间为时所用时间相同，而M是AB的中点，即AM=BM，MC=15千米，则，由图所示易知：解这个方程组，得经检验，都是原方程组的解，但，不合题意，舍去。所以，甲车的速度为80千米/小时，乙车的速度为60千米/小时。图1二.三角形图示法例2.已知正数，x，y满足条件x+y=4，求的最小值。分析：若直接求解，比较困难，但注意到所求式子的特点，则可构成直角三角形求解，就容易多了。建立（如图2）所示的两个直角三角形。由图2可知三角形面积关系：。即：所以可见，当且仅当∠BAC=90°，即sin∠BAC=1时所求的式子有最小值4。图2三.矩形图示法例3.证明平方差公式。分析：通过计算（图3）两个图形（阴影部分）的面积相等，验证平方差公式。甲图的面积等于，乙图的面积等于，而甲图的面积等于乙图的面积。则。图3例4.验证完全平方公式。分析：通过计算（图4）四块面积的和等于大正方形面积，验证完全平方公式。大正方形的面积等于，四块面积的和等于，所以。图4例5.试证的关系式。分析：通过计算（图5）小正方形（阴影面积）等于大正方形面积减去四个相等的矩形面积4mn。即可得到：。图5例6.证明：……=1。分析：构造（图6）边长为1的正方形，由于该正方形的面积为1，显然有……=1图6例7.一项工程，甲单独做需15天完成，乙单独做需25天完成。这项工程由甲、乙合成，并且施工期间乙休息7天，问需要几天完成？分析：设总工作量为1，则甲的工作效率为，乙的工作效率为；设甲、乙合做而且施工期间乙休息7天，需x天完成。如图7，先画矩形ABCD，它的面积表示甲、乙合做x天所能完成的工作量。再画矩形EFGH，它的面积表示乙单独做7天所能完成的工作量。那么图中的阴影部分是这项工程的总工作量，可用1表示。这样就得到了等量关系：矩形ABCD面积－矩形EFGH面积=阴影部分面积。根据这一等量关系就可列出方程：解这个方程，得（天）。因此，这项工程需12天完成。图7