初中数学例谈二次根式的学习在八年级上册，同学们已经遇到过这样的式子，知道当为正数或0（也叫做非负数）时，表示a的算术平方根，进入九年级后，我们将在正数和开平方的知识基础上，比较系统地学习二次根式的概念、性质和运算。一.二次根式的概念苏科版数学教材给出了二次根式的描述性定义：一般地，形如的式子，叫做二次根式，a叫做被开方数。对于二次根式的概念，首先要明确被开方数必须是非负数，也就是说，对于，当时，它在实数范围内才有意义。例1.x是怎样的实数时，式子在实数范围内有意义？解：由，得。所以，当时，式子在实数范围内有意义。说明：对于，不仅要求，而且。在初中阶段，具有这种非负性质的式子还有和。二.二次根式的性质利用算术平方根的性质，可以探索得出二次根式的性质，主要有：（1）；（2）（3）；（4）二次根式的这些性质是二次根式化简与运算的依据，应当特别注意它们的适用范围和成立条件。这里要提醒读者注意三点：（1）和表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而表示一个实数a的平方的算术平方根；在中，而中a可以是正实数，0，负实数。但与都是非负数，即。因而它的运算的结果是有差别的。，而（2）性质（3）和（4）。运用性质可进行二次根式的化简，逆用性质可进行二次根式的乘、除法。例如化简：（1）；（2）计算：（1），（2）（3）二次根式化简应当满足：①被开方数所含的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。满足这样两个条件的二次根式，也叫做最简二次根式。三.二次根式的运算在利用性质进行二次根式的化简与运算时，一般要遵循以下做法：（1）先将二次根式适当化简；（2）对于二次根式的乘法，可以参照整式乘法进行；（3）对于二次根式的除法，通常是先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；（4）二次根式的加减法与整式的加减法类似，即在化简的基础上，去括号与合并同类项；（5）运算结果一般要化成最简形式。例1.计算：（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）；（2）；（3）；（4）说明：两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们说这两个代数式互为有理化因式。例如，互为有理化因式。初学二次根式时经常会出现下面的一些错误的解法，提醒同学们要特别注意。例2.下列计算是否正确？为什么？（1）；（2）；（3）；（4）解：（1）不正确，和不能合并，事实上，，而。（2）不正确，（3）不正确，（4）不正确，说明：①只有同类二次根式，才能合并；②只有积或商的算术平方根性质而没有和或差的算术平方根性质。以上从三个方面，对二次根式一章的主要内容进行了梳理和解读，希望能对同学们的学习有所启发和帮助。祝同学们学习进步！
