初三数学寒假专题实际问题中的二次函数关系一.本周教学内容：寒假专题——实际问题中的二次函数关系［中考课标要求］理解并掌握“通过对实际问题的分析确定二次函数表达式”。［中考能力要求］（1）会构建二次函数模型解决一类与函数有关的应用性问题；（2）会应用数形结合思想来解决有关的函数综合性问题。例1.如图，矩形ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，在BC边上取一点P（不与B、C重合），在CD边上取一点Q，使∠APQ＝90°，设BP＝xcm，CQ＝ycm。（1）试求出y与x之间的函数关系式；（2）点P在什么位置时，CQ有最大值，最大值是多少？分析：在背景图形中，能很容易地确定两个相似的三角形：△ABP∽△PCQ，两三角形相似，就可得出对应边成比例。也就建立了x与y之间的关系，进而可求出y与x之间的函数关系式。解：在矩形ABCD中，∠APQ＝90°则∠B＝∠C＝90°∠APB＋∠QPC＝90°∠QPC＋∠PQC＝90°故∠APB＝∠PQC又因∠B＝∠C所以△ABP∽△PCQ故有而AB＝6，BC＝8所以故，即y与x间为二次函数关系因此二次函数的图象的顶点坐标为故：当时，y有最大值为即当点P在BC中点处时，CQ有最大值例2.如图，改革开放以后，不少农村用上了自动喷灌设备，设水管AB高出地面1.5m，点B处有一个自动旋转的喷水头，一瞬间喷出的水呈抛物线形状，喷头B与水流最高点C的连线呈45°角，水流的最高点C比喷头B高出2m，在所建的坐标系中，求水流的落点D到A的距离是多少m？分析：由题目描述结合图象，可将抛物线上的点B和顶点C的坐标求出来，（在求C点坐标时，注意解直角三角形△BCF）由B、C坐标可以确定出抛物线的解析式，进而可以求出点D的坐标，最后求出D到A的距离。解：由题意得：故点B的坐标为（0，1.5）过C点作CE⊥x轴，垂足为E，过B作BF⊥CE，垂足为F，连结CB则CF＝2，∠CBF＝45°所以BF＝CF＝2又因EF＝OB＝1.5，则EC＝2＋1.5＝3.5∴顶点C的坐标为（2，3.5）故可设抛物线解析式为又 过点B（0，1.5）则抛物线解析式为：令，则解得：则D点坐标为（）即例3.一个涵洞成抛物线形（如图），现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m，此时，离水面1.5m处，涵洞宽ED是多少？是否为超过1m？分析：由已知，建立如图坐标系，要想求出ED，只须求出FD，即只要求出点D的横坐标即可，而由已知，可确定出点D的纵坐标，故若先求出抛物线解析式，就可借此进一步求出点D的横坐标。解： AB＝1.6，CO＝2.4∴A点坐标为（-0.8，-2.4）又抛物线顶点坐标是（0，0）∴可设解析式为，因又过点A（-0.8，-2.4）则∴抛物线解析式为：因，则故点D坐标为（x，-0.9）故则，则，则即离水面1.5m时，涵洞宽m，并未超过1m。例4.某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公司经历了从亏损到盈利的过程。下面的二次函数图像（部分）刻画了该公司年初以来累积利润s（万元）与销售时间t（月）之间的关系（即前t个月的利润总和s与t之间的关系）。根据图像提供的信息，解答下列问题：（1）由已知图像上的三点坐标，求累积利润s（万元）与时间t（月）之间的函数关系式；（2）求截止到几月末公司累积利润可达到30万元；（3）求第8个月公司所获利润是多少万元？分析：此题主要是识图，从图中可确定抛物线上四个点的坐标：（1，-1.5），（2，-2），（0，0）及（5，2.5），可由其中三点的坐标求出抛物线的解析式，第二问则应理解为当时，？第三问则应理解为。解：（1）设，由图可得抛物线上三个点的坐标分别是（0，0），（1，-1.5）和（2，-2），则有：解得：（2）当S＝30时，解得：（不合题意，舍去）∴截止到10月末，公司利润累积达到30万元（3）当t＝7时，前7个月利润总额为第t＝8时，前8个月利润总额为∴第8个月公司利润为：（万元）例5.某化工材料经销公司购进了一种化工原料共7000kg，购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元，也不得低于30元。市场调查发现：单价定为70元时，日均销售60kg；单价每降低1元，日均多售出2kg。在销售过程中，每天还要支出其他费用500元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x元，日均获利y元。（1）求y关于x的二次函数关系式，并注明x的取值范围；（2）将（1）中所...
