课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动第2课时等差数列的性质及其应用课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动1.已知等差数列{an}中，a2＋a6＋a10＝1，求a4＋a8.2.若a3＝5，则a1＋2a4＝________若m＋n＝p＋q则am+an＝ap＋aq若m＋n＝2p则am+an＝2ap课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动已知等差数列{an}的公差是正数，并且a3a7＝－12，a4＋a6＝－4，求数列{an}的通项公式．课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动3.设{an}是公差为正数的等差数列，若a1＋a2＋a3＝15，a1a2a3＝80，求a11＋a12＋a13解：{an}是公差为正数的等差数列，设公差为d，∵a1＋a2＋a3＝3a2＝15，∴a2＝5又a1a2a3＝80，∴a1a3＝(5－d)(5＋d)＝25-d2=16∴d＝3或d＝－3(舍去)∴a12＝a2＋10d＝35，a11＋a12＋a13＝3a12＝105.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动4.若a15＝8，a60＝20，则a75＝________.an＝am＋(n-m)d(m，n∈N*)课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动等差数列的性质(1)等差数列的项的对称性a1＋an＝(2)若{an}、{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有(3){an}的公差为d，则d>0⇔{an}为递___数列；d<0⇔{an}为递___数列；d＝0⇔{an}为___数列．2．数列结论{c＋an}{c·an}{pan＋qbn}a2＋an－1＝a3＋an－2＝……课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动等差数列的“子数列”的性质若数列{an}是公差为d的等差数列，则(1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公差为____的等差数列；(2)奇数项数列{a2n－1}是公差为____的等差数列；偶数项数列{a2n}是公差为____的等差数列；(3)从等差数列{an}中等距离抽取项，所得的数列仍为等差数列，当然公差也随之发生变化．2．课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动5.三个数成等差数列，和为6，积为－24，求这三个数；6.四个数成递增等差数列，中间两数的和为2，首末两项的积为－8，求这四个数．(1)三个数成等差数列，可设这三个数为a－d，a，a＋d(d为公差)；(2)四个数成等差数列，且中间两数的和已知，可设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d(公差为2d)．课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动已知成等差数列的四个数之和为26，第二个数与第三个数之积为40，求这个等差数列．解设此四数依次为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d.【变式】由题设知：4a＝26，a－da＋d＝40，解之得a＝132，d＝32或a＝132，d＝－32.故这个数列为2,5,8,11或11,8,5,2.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动由递推关系式构造等差数列求通项(1)求证：数列{bn}为等差数列．(2)试问a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，是第几项；如果不是，请说明理由．【例3】已知数列{an}满足a1＝15，且当n＞1，n∈N*时，有an－1an＝2an－1＋11－2an，设bn＝1an，n∈N*.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动(1)证明当n＞1，n∈N*时，an－1an＝2an－1＋11－2an⇔1－2anan＝2an－1＋1an－1⇔1an－2＝2＋1an－1⇔1an－1an－1＝4⇔bn－bn－1＝4，且b1＝1a1＝5.∴{bn}是等差数列，且公差为4，首项为5.(2)解由(1)知bn＝b1＋(n－1)d＝5＋4(n－1)＝4n＋1.∴an＝1bn＝14n＋1，n∈N*.∴a1＝15，a2＝19，∴a1a2＝145.令an＝14n＋1＝145，∴n＝11.即a1a2＝a11，∴a1a2是数列{an}中的项，是第11项．课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动(1)求证：数列{an－2n}为等差数列；(2)设数列{bn}满足bn＝2log2(an＋1－n)，求{bn}的通项公式．解(1)(an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝an＋1－an－2n＝1(与n无关)，故数列{an－2n}为等差数列，且公差d＝1.(2)由(1)可知，an－2n＝(a1－2)＋(n－1)d＝n－1，故an＝2n＋n－1，所以bn＝2log2(an＋1－n)＝2n.【变式】在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋2n＋1.课前探究学习课前探究学习课堂讲练互动课堂讲练互动某公司经销一种数码产品，第1年获利200万元，从第2年起由于市场竞争等方面的原因，利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？解由题意可知，设第1年获利为a1，第n年获利为an，则an－an－1＝－20，(n≥2，n∈N*)，每年获利构成等差数列{an}，且首项a1＝200，公差d＝－20，所以an＝a1＋(n－1)d＝200＋(n－1)×(－20)＝－20n＋220.若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝－20n＋220<0，解得n>11，即从第12年起，该公司经销这一产品将亏损．【变式】
