线段垂直平分线马村镇东周中学申艳芳政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区A、B、C之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等。ABC实际问题实际问题ABPMNCPA=PB已知：如图13.5.1，MNAB,⊥垂足为点C,AC=CB.点P是直线MN上任意一点。求证：证明：∵MNAB⊥∴∠PCA=PCB∠在ΔPAC和ΔPBC中，AC=BC∠PCA=PCB∠PC=PC∴ΔPACΔPBC≌∴PA=PB证明:取线段AB的中点C,连结QC在ΔQAC和ΔQBC中，∵QA=QBCA=CBQC=QC∴ΔQACΔQBC≌∴∠QCA=QCB∠∵∠QCA+QCB=180∠0∴∠QCA=QCB=90∠0即QCAB⊥∴QC是线段AB的垂直平分线，即点Q在线段AB的垂直平分线上。逆定理的另一种证法ABQMNC证明：设AB的垂直平分线l和BC的垂直平分线m相交于点O,连结OA,OB,OC.∵点O在AB的垂直平分线l上∴OA=OB(线段垂直平分线上点到线段两端的距离相等）同理OB=OC∴OA=OC∴点O在AC的垂直平分线n上(到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上）∴AB﹑BC﹑CA的垂直平分线l﹑m﹑n相交于一点O已知：如图13.5.3，ΔABC中，直线l﹑m﹑n分别是边AB﹑BC﹑AC的垂直平分线。求证：AB﹑BC﹑CA的垂直平分线l﹑m﹑n相交于一点小结：线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。∵AC=BC,MN⊥AB,P是MN上任意一点(已知),∴PA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等).逆定理：到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上。∵PA=PB(已知),∴点P在AB的垂直平分线上(到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上).
