全等三角形之辅助线（讲义）课前预习1.为了解决几何问题，在原图的基础上另外添加的直线或线段称为辅助线．辅助线通常画成________．辅助线的原则：添加辅助线，构造新图形，形成新关系，建立_________和_________之间的桥梁，把问题转化成自己已经会解的情况．辅助线的作用：①________________________________________________；②________________________________________________．添加辅助线的注意事项：明确目的，多次尝试．2.要证明边相等（或角相等），可以考虑证明它们所在的三角形_________；要证全等，需要找____组条件．精讲精练1.已知：如图，AB=CD，AC与BD交于点O，且AC=BD．求证：∠ABO=∠DCO．2.已知：如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．求证：AB=CD且AD=BC．3.已知：如图，AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，F是CD的中点．求证：AF⊥CD．CBDADCOBAAEB4.已知：在△ABC中，∠B=∠C．求证：AB=AC．5.已知：如图，在△ABC中，点D，E在AC上，∠ABD=∠CBE，∠A=∠C．求证：BD=BE．EDCB6.已知：如图，在△ABD中，BC⊥AD于点C，E为BC上一点，AE=BD，EC=CD，延长AE交BD于点F．求证：AF⊥BD．BFECDA7.已知：如图，BD，CE是△ABC的高，点P在BD的延长线上，BP=AC，点Q在CE上，CQ=AB．判断线段AP和AQ的数量和位置关系，并加以证明．QPEDCBA【参考答案】课前预习1.虚线．已知，未知．①把分散的条件转为集中；②把复杂的图形转化为基本图形．2.全等；3精讲精练1.证明：如图，连接ADABOCD在△ABD和△DCA中，ABDCBDCAADDA（已知）（已知）（公共边）∴△ABD≌△DCA（SSS）∴∠ABO=∠DCO（全等三角形对应角相等）2.证明：如图，连接ACADBC∵AB∥CD∴∠CAB=∠ACD∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA在△ABC和△CDA中，CABACDACCABCADAC（已证）（公共边）（已证）∴△ABC≌△CDA（ASA）∴AB=CD，BC=DA（全等三角形对应边相等）3.证明：如图，连接AC，ADFCBEDA在△ABC和△AED中，ABAEBEBCED（已知）（已知）（已知）∴△ABC≌△AED（SAS）∴AC=AD（全等三角形对应边相等）∵F是CD的中点∴CF=DF在△ACF和△ADF中，ACADAFAFCFDF（已证）（公共边）（已证）∴△ACF≌△ADF（SSS）∴∠CFA=∠DFA（全等三角形对应角相等）∵∠CFA+∠DFA=180°∴∠CFA=90°∴AF⊥CD4.证明：如图，过点A作AD⊥BC于点DADBC∵AD⊥BC∴∠ADB=∠ADC=90°在△ADB和△ADC中，BCADBADCADAD（已知）（已知）（公共边）∴△ADB≌△ADC（AAS）∴AB=AC（全等三角形对应边相等）5.证明：如图，过点B作BF⊥AC于点FFABCDE∵BF⊥AC∴∠BFA=∠BFC=90°在△ABF和△CBF中，ACBFABFCBFBF（已知）（已证）（公共边）∴△ABF≌△CBF（AAS）∴AB=CB（全等三角形对应边相等）在△ABD和△CBE中，ACABCBABDCBE（已知）（已证）（已知）∴△ABD≌△CBE（ASA）∴BD=BE（全等三角形对应边相等）6.证明：如图，∵BC⊥AD∴∠ACE=∠BCD=90°在Rt△ACE和Rt△BCD中AEBDCECD（已知）（已知）∴Rt△ACE≌Rt△BCD（HL）∴∠CAE=∠CBD（全等三角形对应角相等）∵∠ACE=90°∴∠CAE+∠AEC=90°∵∠AEC=∠BEF∴∠CBD+∠BEF=90°∴∠BFE=90°∴AF⊥BD7.解：AP=AQ且AP⊥AQ，理由如下：如图，∵BD⊥AC，CE⊥AB∴∠BEQ=∠BDC=∠ADP=90°∴∠1+∠3=90°∠2+∠4=90°∵∠3=∠4∴∠1=∠2在△ABP和△QCA中12ABQCBPCA（已知）（已证）（已知）∴△ABP≌△QCA（SAS）∴AP=AQ（全等三角形对应边相等）∠P=∠5（全等三角形对应角相等）∵∠ADP=90°∴∠P+∠PAD=90°∴∠5+∠PAD=90°即∠QAP=90°∴AP=AQ且AP⊥AQ
