全等三角形证明过程训练（讲义）课前预习1.判定三角形全等的方法有______，______，______，______．要证三角形全等需要找_____组条件，其中必须有_____．2.在做几何题时，我们往往借助对图形的标注来梳理信息，进而把条件直观化，请学习下图中的标注．①如图1，在四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC．②如图2，在四边形ABCD中，连接BD，∠ABD=∠CDB，∠ADB=∠CBD，∠A=∠C．③如图3，在四边形ABCD中，连接AC，BD相交于点O，AO=OC，BO=DO．DCBA××ABCDOABCD图1图2图33.数学推理中，有理有据地思考和表达是一项基本的数学素养，请走通思路后，完整书写过程．如图是一个易拉罐的纵截面示意图，易拉罐的上下底面互相平行（AB∥CD），用吸管吸饮料时，若∠1=110°，求∠2的度数．知识点睛1.直角三角形全等的判定定理：_________________________．2.已知：如图，在△ABC与△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，AB=A′B′，AC=A′C′．求证：△ABC≌△A′B′C′．321DCBAC'B'A'CBA证明：如图，在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中ABA'B'ACA'C'（已知）（已知）∴Rt△ABC≌Rt△A′B′C′（HL）精讲精练1.如图，AC=AD，∠C，∠D是直角，将上述条件标注在图中，则___________≌___________，从而BC________BD．DCBA2.如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，AE=AF，则_____≌______，从而DE=______．ABCDEF3.已知：如图，AB=CD，AF=CE，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F．求证：△ABF≌△CDE．ABCDEF4.已知：如图，∠B=∠D=90°，如果要使△ABC≌△ADC，那么还需要一个条件，这个条件可以是_________________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件也可以是_______________，理由是____________；这个条件还可以是_______________，理由是____________．ABCDABCDEFl第4题图第5题图5.如图，直线l过正方形ABCD的顶点B，点A，C到直线l的距离分别是1和2，则EF的长为_________．6.已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，DE⊥AB于E．求证：△ACD≌△AED．EDCBA7.已知：如图，点B，E，C，F在同一直线上，AC∥DF且AC=DF，BE=CF．求证：△ABC≌△DEF．FEDCBA8.如图，在正方形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AB=BC，E，F分别是AB，AD上的点，已知CE⊥BF，垂足为M．求证：BE=AF．ABCDEFM9.已知：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为AB上一点，连接CD，AE⊥CD于E，BF⊥CD交CD的延长线于F．求证：CF=AE．10.已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，D，E，F分别为边BC，AB，AC上的点，且BE=CD，∠EDF=60°．求证：ED=DF．FEDCBAABCDEF【参考答案】课前预习1.SAS，SSS，ASA，AAS3，边2.略3.解：如图∵AB∥CD∴∠1=∠3∵∠1=110°∴∠3=110°∵∠2+∠3=180°∴∠2=180°-∠3=180°-110°=70°知识点睛1.SAS，SSS，ASA，AAS，HL精讲精练1.Rt△CAB，Rt△DAB，=2.Rt△AED，Rt△AFD，DF3.证明：如图，∵DE⊥AC，BF⊥AC∴∠DEC=∠BFA=90°在Rt△ABF和Rt△CDE中，ABCDAFCE（已知）（已知）∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）4.AB=AD，HLBC=DC，HL∠BAC=∠DAC，AAS∠BCA=∠DCA，AAS5.36.证明：如图，∵DE⊥AB∴∠DEA=90°∵∠C=90°∴∠C=∠DEA∵AD平分∠BAC∴∠CAD=∠EAD在△ACD和△AED中CDEACADAEDADAD（已证）（已证）（公共边）∴△ACD≌△AED（AAS）7.证明：如图，21ABCDEF第8题图∵AC∥DF∴∠1=∠2∵BE=CF∴BE+EC=CF+EC即BC=EF在△ABC和△DEF中12ACDFBCEF（已知）（已证）（已证）∴△ABC≌△DEF（SAS）8.证明：如图，∵∠ABC=90°∴∠ABF+∠MBC=90°∵AE⊥BF∴∠CMB=90°∴∠MBC+∠BCE=90°∴∠ABF=∠BCE在△ABF和△BCE中AEBCABBCABFBCE（已知）（已知）（已证）∴△ABF≌△BCE（ASA）∴AF=BE（全等三角形对应边相等）9.证明：如图，第9题图321ABCDEF∵∠ACB=90°∴∠1+∠2=90°∵AE⊥CD，BF⊥CD∴∠F=∠AEC=90°∴∠3+∠2=90°∴∠1=∠3在△BCF和△CAE中13FAECBCCA（已证）（已证）（已知）∴△BCF≌△CAE（AAS）∴CF=AE（全等三角形对应边相等）10.证明：如图，∵∠B=60°∴∠1+∠2=120°∵∠EDF=60°∴∠2+∠3=120°∴∠1=∠3在△BDE和△CFD中13BECDBC（已证）（已知）（已知）∴△BDE≌△CFD（ASA）∴ED=DF（全等三角形对应边相等）第10题图321ABCDEF
