平行四边形中的特殊面积关系1．问题引入平行四边形中涉及到很多面积计算问题，根据平行四边形的性质，可以得到一些特殊面积之间的规律性关系，掌握这些结论将有助于问题的求解。下面是一个我们都很熟悉的结论：如图1，□ABCD中对角线AC（或BD）将平行四边形分成的两个三角形全等，因此有S△ABC=S△ADC=21S□ABCD（或S△ABD=S△CBD=21S□ABCD）。引例：如图，某村有一个呈四边形的池塘，在它的四个角的顶点A、B、C、D处均种有一棵大核桃树，该村准备开挖池塘建养鱼池，想使池塘面积扩大一倍，又不想移动核桃树，并要求扩建后的池塘成平行四边形形状，该村能否实现这一设想？若能，请你设计并画出图形；若不能，请你说明理由。（画图要保留痕迹，不写画法）分析：连接对角线AC、BD，分别过点A，B，C，D作对角线的平行线，相交于点E、F、G、H，则□EFGH即为所求。2．问题拓展2.1．平行四边形对角线将平行四边形分成的四个三角形间的面积关系。如图2，□ABCD中对角线互相平分，OA=OC，OB=OD，易证△AOB≌△COD，△BOC≌△DOA，所以S△AOB=S△COD，S△BOC=S△DOA又由同底等高的三角形面积相等，可知：S△AOB=S△BOC故有：S△AOB=S△COD=S△BOC=S△DOA=41S□ABCD拓展结论1：在平行四边形中，两条对角线将平行四边形分成的四个部分面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一。例1．如图2，□ABCD的对角线相交于O，S△AOB=4cm2，S□ABCD=。分析：由拓展结论1，S□ABCD=4S△AOB=4×4=16（cm2）2.2．平行四边形一条边上的点与其对边端点所连接的线段将平行四边形分成三个三角形间的面积关系。如图3，□ABCD中，P是边BC上任意一点，过P作PE∥AB，易知四边形AEPB、DEPC为平行四边形，则有S△ABP=S△AEP，S△PCD=S△PED，所以S△ABP+S△PCD=S△AEP+S△PED=S△PAD。即：S△PAB+S△PCD=S△PAD=21S□ABCD拓展结论2：平行四边形一条边上的点与对边两端点所连接的线段，将平行四边形分成三个三角形，其中两个小三角形的面积和等于另一个大三角形的面积，并且等于平行四边形面积的一半。例2．如图4，□ABCD中，E是边AD上任意一点，S△ABE=4，S△EDC=8，则S△BDC=。分析：S△ABE+S△EDC=21S□ABCD=S△BDC=122.3．平行四边形内任意一点与四个顶点连线将平行四边形分成四个三角形的面积关系。如图5，P为□ABCD内任意一点，连接PA、PB、PC、PD，将□ABCD分成四个三角形，过P分别作两对边的垂线，四个垂线段为h1、h2、h3、h4，则有S△PAB=21AB·h1，S△PCD=21CD·h2=21AB·h2，∴S△PAB+S△PCD=21AB·h1+21AB·h2=21AB（h1+h2）=21S□ABCD同理可得，S△BPC+S△APD=21S□ABCD故有：S△PAB+S△PCD=S△BPC+S△APD=21S□ABCD拓展结论3：平行四边形内任意一点与四个顶点连线，将平行四边形分成四个三角形，相对的两个三角形的面积和相等，且等于原行四边形面积的一半。例3.如图6，P为□ABCD内任意一点，S△PAB=5，S△APD=2，则S△PAC=。分析： S△PAB+S△PCD=21S□ABCD=S△ADCS△PAC=S△ADC－S△PCD－S△APD=21S□ABCD－S△PCD－S△APD=S△PAB－S△APD=32.4．平行四边形对角线上任意一点与另外两个顶点的连线将平行四边形分成四个三角形的面积关系如图7，P是□ABCD对角线AC上一点，连接AP、AC，过D、B分别向AC作高线，由S△ABC=S△ADC，则高线相等。△APD、△APB是同底（AP）等高三角形，S△APD=S△APB，同理S△CPD=S△CPB。又S△APD+S△CPD=S△ADC=21S□ABCD，S△APB+S△CPB=S△ABC=21S□ABCD。拓展结论4：平行四边形对角线上任意一点与另外两个顶点的连线将平行四边形分成四个三角形，对角线异侧相邻的两个三角形面积相等，对角线同侧相邻的两个三角形的面积之和等于平行四边形的面积的一半。例4.如图7，□ABCD的面积为24cm2，P为对角线AC上一点，连PB、PD，若四边形PBCD的面积为16cm2，则S△APD=。分析：S△APD+S△APB=24－16=8（cm2），S△APD=S△APB=4（cm2）2.5过平行四边形内任一点分别作两对边的平行线将平行四边形分成的四个平行四边形的面积关系。如图8，过□ABCD内一点P，作EF∥BC，交AB、CD于E、F，作GH∥AB，交AD、BC于G、H，作BC、AD的垂线段h1，h2。设BH=m，HC=n。S□AEPG=mh1，S□BEPH=mh2，S...
