1．5函数的奇偶性考纲点击了解奇函数、偶函数的定义，会判断一些简单函数的奇偶性，并能够用函数的奇偶性解决一些函数问题.说基础课前预习读教材考点梳理1.函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数如果函数f(x)的定义域内①______x都有②______，那么函数f(x)是偶函数关于③____对称奇函数如果函数f(x)的定义域内④______x都有⑤______，那么函数f(x)是奇函数关于⑥____对称①任意一个②f(－x)＝f(x)③y轴④任意一个⑤f(－x)＝－f(x)⑥原点2.奇偶函数的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性⑦______，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性⑧______(填“相同”、“相反”)．⑦相同⑧相反(2)在公共定义域内①两个奇函数的和函数是⑨______，两个奇函数的积函数是⑩______.②两个偶函数的和函数、积函数是⑪______.③一个奇函数与一个偶函数的积函数是⑫______.(3)若f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，则f(0)＝⑬______.⑨奇函数⑩偶函数⑪偶函数⑫奇函数⑬0考点自测1.已知f(x)＝ax2＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b的值是()A．－13B.13C.12D．－12解析：由题意得a－1＝－2a且b＝0，故a＝13，a＋b＝13，选B.答案：B2．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中是奇函数的是()①y＝f(|x|)；②y＝f(－x)；③y＝xf(x)；④y＝f(x)＋x.A．①③B．②③C．①④D．②④解析：由奇函数的定义验证可知②④正确，选D.答案：D3．若函数f(x)＝x2x＋1x－a为奇函数，则a＝()A.12B.23C.34D．1解析：由题意，得f(－1)＝－f(1)，即－1－1×－1－a＝－131－a，解得a＝12，选A.答案：A4．已知f(x)在R上是奇函数，且满足f(x＋4)＝f(x)，当x∈(0,2)时，f(x)＝2x2，则f(7)＝()A．－2B．2C．－98D．98解析：由f(x＋4)＝f(x)，得f(7)＝f(3)＝f(－1)，又f(x)为奇函数，∴f(－1)＝－f(1)，f(1)＝2×12＝2，∴f(7)＝－2.故选A.答案：A5．若函数f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数a＝__________.解析：由题意，得f(－x)＝f(x)∀x∈R恒成立，即x2－|－x＋a|＝x2－|x＋a|∀x∈R恒成立．故|x＋a|＝|x－a|∀x∈R恒成立．所以(x＋a)2＝(x－a)2，即4ax＝0对x∈R恒成立．从而a＝0.答案：0说考点拓展延伸串知识疑点清源1.函数奇偶性的判断判断函数的奇偶性主要根据定义：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)＝－f(x))，那么函数f(x)就叫做偶函数(或奇函数)．其中包含两个必备条件：①定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域有利于准确简捷地解决问题；②判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．2．函数奇偶性的性质(1)奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反．(2)若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)．(3)若奇函数f(x)定义域中含有0，则必有f(0)＝0.f(0)＝0是f(x)为奇函数的既不充分也不必要条件．题型探究题型一函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性，并说明理由．(1)f(x)＝x2－|x|＋1x∈[－1,4]；(2)f(x)＝(x－1)1＋x1－xx∈(－1,1)；(3)f(x)＝1ax－1＋12(a＞0，a≠1)；(4)f(x)＝x1－xx＜0，x1＋xx＞0.解析：(1)由于f(x)＝x2－|x|＋1，x∈[－1,4]的定义域不是关于原点对称的区间，因此，f(x)是非奇非偶函数．(2) f(x)＝(x－1)1＋x1－x，已知f(x)的定义域为－1＜x＜1，其定义域关于原点对称．又f(－x)＝(－x－1)1－x1＋x＝－(x＋1)1－x1＋x＝－1＋x21－x1＋x＝－1＋x1－x＝－1＋x1－x21－x＝－(1－x)1＋x1－x＝(x－1)1＋x1－x＝f(x)，即f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数．(3) f(x)的定义域为x∈R，且x≠0，其定义域关于原点对称，并且有f(－x)＝1a－x－1＋12＝11ax－1＋12＝ax1－ax＋12＝－1－ax－11－ax＋12＝－1＋11－ax＋12＝－1ax－1＋12＝－f(x)，即f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．(4) f(x)＝x1－x...
