第二章齐次坐标变换ChapterⅡHomogeneousTransformation2.1引言2.2点向量和平面的描述2.3变换2.4平移变换2.5旋转变换2.6坐标系2.7相对变换2.8物体的描述2.9逆变换2.10一般性旋转变换2.11等价旋转角与旋转轴2.12扩展与缩小2.13透视变换2.14变换方程2.15小结2.1引言(Introduction)机器人操作涉及到各物体之间的关系和各物体与机械手之间的关系。这一章将给出描述这些关系必须的表达方法。类似这种表示方法在计算机图形学中已经解决。在计算机图形学和计算机视觉中，物体之间的关系是用齐次坐标变换来描述的。在本课程我们将采用齐次坐标变换来描述机械手各关节坐标之间、各物体之间以及各物体与机械手之间的关系。本章首先介绍向量和平面的表示方法，然后引出向量和平面的坐标变换，这些变换基本上是由平移和旋转组成，因此可以用坐标系来描述各种物体和机械手的空间位置和姿态。稍后还要介绍逆变换，逆变换是运动学求解的基础。a0vzyxzyxpcb0uEH图2.1点向量的描述•2.2点向量和平面的描述（Notationofpointvectorsandplanes）2.2.1点向量（Pointvectors）点向量描述空间的一个点在某个坐标系的空间位置。同一个点在不同坐标系的描述及位置向量的值也不同。如图2.1中，点p在E坐标系上表示为Ev，在H坐标系上表示为Hu，且v≠u。一个点向量可表示为v=ai+bj+ck通常用一个（n+1）维列矩阵表示，即除x、y、z三个方向上的分量外，再加一个比例因子w，即v=[xyzw]T其中a=x/w,b=y/w,c=z/w。改变比例因子w，则分量a、b、c的数值相应改变，但描述的还是同一个点向量。如v=3i+4j+5k可表示为v=[3451]T=[68102]T=[-3-4-5-1]T在向量中增加一个比例因子w是为了方便坐标变换中的矩阵运算。已知两个向量a=axi+ayj+azkb=bxi+byj+bzk（2.1）向量的点积是标量。用“·”来定义向量点积，即a·b=axbx+ayby+azbz（2.2）向量的叉积是一个垂直于由叉积的两个向量构成的平面的向量。用“×”表示叉积，即a×b=(aybz¯azby)i+(azbx¯axbz)j+(axby¯ayby)k（2.3）可用行列式表示为ijka×b=axayaz（2.4）bxbybz2.2.2平面（Planes）平面可用一个行矩阵表示，即p=[abcd]（2.5）它表示了平面p的法线方向，且距坐标原点的距离为－d/m，其中m=（2.6）如图2.2所示，如果将x－y平面沿z轴正方向平移一个单位距离，构成平面p，则p=[001-1]即a=0,b=0,c=1,d=-1,m==1平面p上任一点v为v=[xy11]T，它与平面p的点乘为零，即p•v=0平面p上方任一点v，如v=[0021]T，它与平面p的点乘为一个正数，即p•v=1平面p下方任一点v，如v=[0001]T，它与平面p的点乘为一个负数，即p•v=-1注意：平面[0000]无定义。a2+b2+c2a2+b2+c2图2.2平面的描述0•vpzyx1yxH空间的变换是由4×4矩阵来完成的，它可以表示平移、旋转、扩展和透视等各种变换。如已知点u（在平面p上）,它的变换v（在平面q上）用矩阵积表示为v=Hu（2.7）其中H为4×4变换矩阵，u和v为4×1的点列向量，相应的平面p到q的变换是q=pH-1（2.8）其中H-1为H的逆阵，p和q为1×4的平面行向量。经变换后的平面向量q与点向量v的点乘为q·v=pH-1·Hu＝p·u（2.9）与变换前平面p与点u的点乘相等，证明了变换的等效性。2.3变换(Transformation)2.4平移变换（Translationtransformation）用向量h＝ai+bj+ck进行平移，其相应的H变换矩阵是100a010bH=Trans(abc)=001c(2.10)0001因此对向量u=[xyzw]T，经H变换为向量v可表示为x+awx/w+ay+bwy/w+bv=z+cw=z/w+c(2.11)w1可见，平移实际上是对已知向量u=[xyzw]T与平移向量h=[abc1]T相加。【例2.1】对点向量u=[2321]T进行平移，平移向量为h=[4-371]T，则平移后的向量为v=[6091]T，或100426010―330v=H∙u=00172=9000111点向量的平移过程如图2.3所示。对平面的平移则用H－1进行变换，如对平面p=[100-2]进行H变换为平面q，则根据变换原理有100-40103q＝pH－1＝[100-2]001-70001＝[100-6]平面p＝[100-2]是y－z平面沿x正方向移动2个单位形成的平面（图2.3），点u=[2321]T是平面p上的一个点，它们的点乘p∙u=0。经H变换后的平面q＝[100-6]是y－z平面沿x正方向移动6个单位形成的平面，点v=[6091]T是平面q上一个点，平面q与点v的点乘也应是零，即q∙v＝0，说明变换前后...
