公里和平面的基本性质1.平面的基本性质，即三个公理及推论.2.公理4及等角定理.3.空间两条直线的位置关系有且只有三种，即平行、相交及异面.4.异面直线，求作异面直线所成的角时，往往取题中的特殊点.例1．如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F．求证：E，F，G，H四点必定共线．说明：在立体几何的问题中，证明若干点共线时，常运用公理2，即先证明这些点都是某二平面的公共点，而后得出这些点都在二平面的交线上的结论．例2．已知：a，b，c，d是不共点且两两相交的四条直线，求证：a，b，c，d共面．说明：证明若干条线(或若干个点)共面的一般步骤是：首先根据公理3或推论，由题给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再根据公理1证明其余的线(或点)均在这个平面内．本题最容易忽视“三线共点”这一种情况．因此，在分析题意时，应仔细推敲问题中每一句话的含义．例3．如图，点A，B，C确定的平面与点D，E，F确定的平面相交于直线l，且直线AB与l相交于点G，直线EF与l相交于点H，试作出平面ABD与平面CEF的交线．例4．如图，已知平面α，β，且αβ＝l．设梯形ABCD中，AD∥BC，且ABα，CDβ，求证：AB，CD，l共点（相交于一点）．说明：证明多条直线共点时，一般要应用公理2，这与证明多点共线是一样的．选1．、、表示不同的点，、表示不同的直线，、表示不同的平面，下列推理不正确的是，直线，且不共线与重合2．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底边均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是选3．对于空间三条直线，有下列四个条件：①三条直线两两相交且不共点；②三条直线两两平行；③三条直线共点；④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有（选）1个2个3个4个4．空间五个点中的任意三点都不共线，由这五个点为顶点只构造出四个三棱锥，则这五个点最多可以确定7个个平面．1αDCBAEFHGE·BAD·FC····E·BAl图3GHD·FCM···αDCBAlβMαbadcGFEAabcdαHK图1图2公里和平面的基本性质1．在空间四边形的边、、、上分别取点，如果与相交于一点，那么一定在直线上一定在直线上可能在直线上，也可能在直线上既不在直线上，也不在直线上2．有下列命题：①空间四点中有三点共线，则这四点必共面；②空间四点中，其中任何三点不共线，则这四点不共面；③用斜二测画法可得梯形的直观图仍为梯形；④垂直于同一直线的两直线平行⑤两组对边相等的四边形是平行四边形．其中正确的命题是．答案：①③3．一个平面把空间分成__2__部分，两个平面把空间最多分成_4___部分，三个平面把空间最多分成__8__部分．4．如图，P、Q、R分别是四面体ABCD的棱AB，AC，AD上的点，若直线PQ与直线BC的交点为M，直线RQ与直线DC的交点为N，直线PR与直线DB的交点为L，试证明M，N，L共线．6．如图，P、Q、R分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AA1，BB1，DD1上的三点，试作出过P，Q，R三点的截面图．说明求作二平面的交线问题，主要运用公理1．解题关键是直接或间接找出二平面的两个确定的公共点．有时同时还要运用公理2、3及公理的推论等知识．7．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1的中，A1C1B1D1＝O1，B1D平面A1BC1＝P．求证：P∈BO1．说明一般地，要证明一个点在某条直线上，只要证明这个点在过这条直线的两个平面上．1四面体ABCD中，E、G分别为BC、AB的中点，F在CD上，H在AD上，且有DF∶FC=23∶，DH∶HA=23.∶求证：EF、GH、BD交于一点.2．BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角.特别提示求两条异面直线所成的角，首先要判断两条异面直线是否垂直，若垂直，则它们所成的角为90°；若不垂直，则利用平移法求角，一般的步骤是“作（找）—证—算”.注意，异面直线所成角的范围是（0，］.3．长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=a，BC=b，AA1=c，且a>b，求：（1）下列异面直线之间的距离：AB与CC1；AB与A1C1；AB与B1C.（2）异面直线D1B与AC所成角的余弦值.2A1ABB1DD1CC1RQP···A1ABB1DD1CC1O1PABCDMNLPQRA1ABB1DD1CC1STRQP图4NM
