专题四万有引力定律和天体运动1.【解析】如图所示，设地球半径为r，卫星的轨道半径为R．图中两个阴影部分的球冠表面积是不能拍摄到的区域．卫星绕地球运动，有：=mR其中地球的质量为M，则M=πr3ρ图中球冠的高为h，则h=r（1-cosα）其中cosα=而球冠的总面积为S′=2πrh×2，地球的表面积为S=4πr2解得摄像机所能拍摄到的总面积与地球表面积之比为=．2.【解析】卫星在半径为r的圆轨道运动有：r得此时卫星的周期为T1=2π卫星沿椭圆轨道运动时，其半长轴为a=由开普勒第三定律有：=，得T2=π（R+r）另外，在地球表面时，近似有：=mg，得GM=R2g．从开始制动到飞船着陆，经过时间为t，则t=，得t=．3.答案：⑴设地球质量为M，卫星质量为m，卫星在运行时，由万有引力提供向心力：1设地球表面有个质量为m0的物体，则：m0g=由①②式联立，卫星的运行速度为：⑵设卫星的运动周期为T′，则：得：一天内侦察卫星经过有日照的赤道上空次数为：摄像机每次应拍摄地面上赤道圆周的弧长为：S＝得：S＝4.（1）根据万有引力定律，在月球上的物体①（2分）卫星绕月球作圆周运动，设速度为v，则②（3分）①②式联立解得：（2分）（2）设卫星运动周期为T，则（3分）解得：（2分）则每天绕月球运转的圈数为（2分）5.设行星质量m，太阳质量为M，行星与太阳的距离为r，根据万有引力定律，2行星受太阳的万有引力（2分）行星绕太阳做近似匀速圆周运动，根据牛顿第二定律有（2分）（1分）以上式子联立故（1分）地球的周期年，（1分）火星的周期（2分）年=1.8年（1分）设经时间t两星又一次距离最近，根据（2分）则两星转过的角度之差（2分）（2分，答“2.2年”同样给分6.解：（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速相同，其为ω。由牛顿运动运动定律，有FA＝m1ω2r1(1分)FB＝m2ω2r2(1分)FA＝FB(1分)设A、B之间的距离为r，又r＝r1＋r2，(1分)由上述各式得r＝①(1分)由万有引力定律，有3FA＝G(1分)将①代入得FA＝G(1分)令FA＝G(1分)比较可得②(1分)（2）由牛顿第二定律，有③(1分)又可见星A的轨道半径r1＝④(1分)由②③④式可得(1分)（3）将m1＝6mI代入⑤式，得⑤(1分)代入数据得4⑥(1分)设m2＝nmI，（n＞0），将其代入⑥式，得⑦(1分)可见，的值随n的增大而增大，试令n=2，得⑧(2分)若使⑦式成立，则n必须大于2，即暗星B的质量m2必须大于2mI，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞。(1分)5
