竞赛题汇编1万有引力定律一、（20分）如图所示，哈雷彗星绕太阳S沿椭圆轨道逆时针方向运动，其周期T为76.1年，1986年它过近日点P0时与太阳S的距离r0=0.590AU，AU是天文单位，它等于地球与太阳的平均距离，经过一段时间，彗星到达轨道上的P点，SP与SP0的夹角θP=72.0°。已知：1AU=1.50×1011m，引力常量G=6.67×10－11Nm2/kg2，太阳质量mS=1.99×1030kg，试求P到太阳S的距离rP及彗星过P点时速度的大小及方向（用速度方向与SP0的夹角表示）。一、参考解答：解法一取直角坐标系Oxy，原点O位于椭圆的中心，则哈雷彗星的椭圆轨道方程为（1）a、b分别为椭圆的半长轴和半短轴，太阳S位于椭圆的一个焦点处，如图1所示．以表示地球绕太阳运动的周期，则；以表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则，根据开普勒第三定律，有（2）设c为椭圆中心到焦点的距离，由几何关系得（3）（4）由图1可知，P点的坐标（5）（6）把（5）、（6）式代入（1）式化简得（7）根据求根公式可得SPPPrabO0Pxy图1（8）由(2)、(3)、(4)、(8)各式并代入有关数据得(9)可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能为(10)式中m为彗星的质量．以表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有（11）得（12）代入有关数据得(13)设P点速度方向与的夹角为(见图2)，根据开普勒第二定律（14）其中为面积速度，并有（15）由（9）、（13）、（14）、（15）式并代入有关数据可得（16）解法二取极坐标，极点位于太阳S所在的焦点处，由S引向近日点的射线为极轴，极角为，取逆时针为正向，用r、表示彗星的椭圆轨道方程为图2SPPPrabO0Pxy（1）其中，e为椭圆偏心率，p是过焦点的半正焦弦，若椭圆的半长轴为a，根据解析几何可知（2）将（2）式代入（1）式可得（3）以表示地球绕太阳运动的周期，则；以表示地球到太阳的距离（认为地球绕太阳作圆周运动），则，根据开普勒第三定律，有（4）在近日点，由（3）式可得（5）将、、的数据代入（3）式即得（6）可以证明，彗星绕太阳作椭圆运动的机械能(7)式中m为彗星的质量．以表示彗星在P点时速度的大小，根据机械能守恒定律有（8）可得（9）代入有关数据得(10)设P点速度方向与极轴的夹角为，彗星在近日点的速度为，再根据角动量守恒定律，有（11）根据（8）式，同理可得（12）由（6）、（10）、(11)、(12)式并代入其它有关数据(13)评分标准：本题20分解法一（2）式3分，（8）式4分，（9）式2分，（11）式3分，(13)式2分,（14）式3分,（15）式1分，（16）式2分．解法二（3）式2分，（4）式3分，（5）式2分，（6）式2分，（8）式3分，(10)式2分,（11）式3分,（12）式1分，（13）式2分．(25届)二、（21分）嫦娥1号奔月卫星与长征3号火箭分离后，进入绕地运行的椭圆轨道，近地点离地面高，远地点离地面高，周期约为16小时，称为16小时轨道（如图中曲线1所示）。随后，为了使卫星离地越来越远，星载发动机先在远地点点火，使卫星进入新轨道（如图中曲线2所示），以抬高近地点。后来又连续三次在抬高以后的近地点点火，使卫星加速和变轨，抬高远地点，相继进入24小时轨道、48小时轨道和地月转移轨道（分别如图中曲线3、4、5所示）。已知卫星质量，地球半径，地面重力加速度，月球半径。1、试计算16小时轨道的半长轴a和半短轴b的长度，以及椭圆偏心率。2、在16小时轨道的远地点点火时，假设卫星所受推力的方向与卫星速度方向相同，而且点火时间很短，可以认为椭圆轨道长轴方向不变。设推力大小，要把近地点抬高到600，问点火时间应持续多长？3、试根据题给数据计算卫星在16小时轨道的实际运行周期。4、卫星最后进入绕月圆形轨道，距月面高度约为200，周期分钟，试据此估算月球质量与地球质量之比值。二、参考解答：1.椭圆半长轴a等于近地点和远地点之间距离的一半，亦即近地点与远地点矢径长度（皆指卫星到地心的距离）与的算术平均值，即有(1)代入数据得km(2)椭圆半短轴b等于近地点与远地点矢径长度的几何平均值，即有(3)代入数据得(4)椭圆的偏心率(5)代入数据即得(6)2.当卫星在16小时轨道上运行时，以和分别表示它在近地点和远地点的速度，根据能量守恒，卫星在近地点和远地点...
