2.3.4平面向量共线的坐标表示学习目标：1.理解用坐标表示两向量共线的条件．(难点)2.能根据平面向量的坐标，判断向量是否共线；并掌握三点共线的判断方法．(重点)3.两直线平行与两向量共线的判定．(易混点)[自主预习·探新知]平面向量共线的坐标表示(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共线，当且仅当存在实数λ，使a＝λb.(2)如果用坐标表示，可写为(x1，y1)＝λ(x2，y2)，当且仅当x1y2－x2y1＝0时，向量a，b(b≠0)共线．[基础自测]1．思考辨析(1)向量(1,2)与向量(4,8)共线．()(2)向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．()(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且b≠0，则x1x2＝y1y2.()[解析](1)正确．因为(4,8)＝4(1,2)，所以向量(1,2)与向量(4,8)共线．(2)正确．因为(－4，－6)＝－2(2,3)，所以向量(2,3)与向量(－4，－6)反向．(3)错误．当x2y2≠0时x1x2＝y1y2.[答案](1)√(2)√(3)×2．下列各对向量中，共线的是()A．a＝(2,3)，b＝(3，－2)B．a＝(2,3)，b＝(4，－6)C．a＝(2，－1)，b＝(1，2)D．a＝(1，2)，b＝(2，2)D[A，B，C中各对向量都不共线，D中b＝2a，两个向量共线．]3．已知a＝(－3,2)，b＝(6，y)，且a∥b，则y＝________.－4[ a∥b，∴6－3＝y2，解得y＝－4.][合作探究·攻重难]判定直线平行、三点共线(1)已知A，B，C三点共线，且A(3，－6)，B(－5,2)，若C点的横坐标为6，则C点的纵坐标为()A．－13B．9C．－9D．13(2)已知A(－1，－1)，B(1,3)，C(1,5)，D(2,7)，向量AB→与CD→平行吗？直线AB平行于直线CD吗？[思路探究](1)设C点的坐标→由AB→∥AC→列方程→求坐标(2)判定向量AB→与CD→平行→两向量上的相关点不共线(1)C[(1)设C(6，y)， AB→∥AC→，又AB→＝(－8,8)，AC→＝(3，y＋6)，∴－8×(y＋6)－3×8＝0，∴y＝－9.](2)[解] AB→＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2,4)，CD→＝(2－1,7－5)＝(1,2)．又2×2－4×1＝0，∴AB→∥CD→.又AC→＝(2,6)，AB→＝(2,4)，∴2×4－2×6≠0，∴A，B，C不共线，∴AB与CD不重合，∴AB∥CD.[规律方法]向量共线的判定方法提醒：向量共线的坐标表达式极易写错，如写成x1y1－x2y2＝0或x1x2－y1y2＝0都是不对的，因此要理解并记熟这一公式，可简记为：纵横交错积相减．[跟踪训练]1．已知A(1，－3)，B8，12，C(9,1)，求证：A，B，C三点共线.【导学号：84352230】[证明]AB→＝8－1，12＋3＝7，72，AC→＝(9－1,1＋3)＝(8,4)， 7×4－72×8＝0，∴AB→∥AC→，且AB→，AC→有公共点A，∴A，B，C三点共线.已知平面向量共线求参数已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当k为何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时它们是同向还是反向？【导学号：84352231】[思路探究]法一：可利用b与非零向量a共线等价于b＝λa(λ>0，b与a同向；λ<0，b与a反向)求解；法二：可先利用坐标形式的等价条件求k，再利用b＝λa判定同向还是反向．[解]法一：(共线向量定理法)ka＋b＝k(1,2)＋(－3,2)＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(1,2)－3(－3,2)＝(10，－4)，当ka＋b与a－3b平行时，存在唯一实数λ，使ka＋b＝λ(a－3b)．由(k－3,2k＋2)＝λ(10，－4)，所以k－3＝10λ，2k＋2＝－4λ，解得k＝λ＝－13.当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，这时ka＋b＝－13a＋b＝－13(a－3b)，因为λ＝－13<0，所以ka＋b与a－3b反向．法二：(坐标法)由题知ka＋b＝(k－3,2k＋2)，a－3b＝(10，－4)，因为ka＋b与a－3b平行，所以(k－3)×(－4)－10×(2k＋2)＝0，解得k＝－13.这时ka＋b＝－13－3，－23＋2＝－13(a－3b)，所以当k＝－13时，ka＋b与a－3b平行，并且反向．[规律方法]利用向量平行的条件处理求值问题的思路：(1)利用共线向量定理a＝λb(b≠0)列方程组求解．(2)利用向量平行的坐标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．[跟踪训练]2．已知a＝(1,1)，b＝(x2，x＋λ)且a∥b，则实数λ的最小值是________．－14[因为a∥b，所以x2－x－λ＝0，即λ＝x2－x＝x－122－14≥－14，所以λ的最小值为－14.]向量共线的综合应用(1)已知向量a＝(cosα，－2)，b＝(sinα，1)，且a∥b，则2sinαcosα等于()A．3B．－3C．－45D．45(2)如图2-3-18所示，已知点A(4,0)，B(4,4)，C(2，6)，求AC与OB的交点P的坐标.【导学号：843522...
