实数的大小比较的常用方法一、法则法比较实数大小的法则是：正数都大于零，零大于一切负数，两个负数相比较，绝对值大的反而小。例1比较与5的大小。析解：由于5|5|,||，且5，所以5。说明：利用法则比较实数的大小是最基本的方法，对于两个负数的大小比较，可将它转化成正数进行比较。二、平方法用平方法比较实数大小的依据是：对任意正实数a、b有：baba22。例2比较73与37的大小。析解：由于147)37(,63)73(22，而14763，所以3773。说明：本题也可以把外面的因数移到根号内，通过比较被开方数大小来比较原数的大小，目的是把含有根号的无理数的大小比较实数转化成有理数进行比较。三、数形结合方法用数形结合法比较实数大小的理论依据是：在同一数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。例3若有理数a、b、c对应的点在数轴上的位置如图1所示，试比较a、－a、b、－b、c、－c的大小。析解：如图2，利用相反数及对称性，先在数轴上把数a、－a、b、－b、c、－c表示的点画出来，容易得到结论：.cbaabc四、作差法：差值比较法的基本思路是设a，b为任意两个实数，先求出a与b的差，再根据当a－b﹥0时，得到a﹥b。当a－b﹤0时，得到a﹤b。当a－b＝0，得到a=b。1例1：（1）比较与的大小。（2）比较1－与1－的大小。解 －＝＜0，∴＜。解 （1－）－（1－）=＞0，∴1－＞1－。例2、比较的大小。解析：因为，所以。五、作商法比较实数的大小的依据是：对任意正数a、b有：;ba1ba;ba1ba.ba1ba来比较a与b的大小。例1：比较与的大小。解： ÷=＜1∴＜例2比较1200812008222111与1200812008333222的大小。析解：设1200812008n,1200812008m333222222111，1112008a，则,2008a,2008a33332222,nm,11a2a1aaanm,1a2a1aaa,a2aa,0)1a(aa2aa,1a2a1aaa1a1a1a1anm,1a1an,1a1am2434434232232434232322即.120081200812008120083332222221112例3：比较20092010与20082009的大小解：20092010÷20082009=20092010×20092008=40360814036080﹤1所以20092010﹤20082009六、倒数法倒数法的基本思路是设a，b为任意两个正实数，先分别求出a与b的倒数，再根据当＞时，a＜b。来比较a与b的大小。例1：比较－与－的大小。解 =+，=+又 +＜+∴－＞－例2、已知a﹥1,b﹥2,试比较a2a+1与b3a+2的大小解：2a+1a=2aa+1a=2+1a因为a﹥1，所以2+1a﹤33a+2b=3bb+2b=3+2b因为b﹥2，所以3+2b﹥3因为2a+1a﹤3a+2b所以a2a+1﹥b3a+23例3、设，则a、b、c的大小关系是（）。A、a>b>cB、a>c>bC、c>b>aD、b>c>a解析：当几个式子中的被开方数的差相等且式子中的运算符号相同时，可选用倒数法。首先，，，因为，所以，则b>c。又因为，所以，则a>b。由此可得：a>b>c。故选A。七、平方法平方法的基本是思路是先将要比较的两个数分别平方，再根据a＞0，b＞0时，可由＞得到a＞b来比较大小，这种方法常用于比较无理数的大小。例5：比较与的大小解：，=8+2。又 8+2＜8+2∴＜。八、估算法估算法的基本是思路是设a，b为任意两个正实数，先估算出a，b两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例4：比较与的大小解： 3＜＜4∴－3＜1∴＜九．比较被开方数法。基本是思路是，当a＞0，b＞0，若要比较形如a的大小，可先把根号外的因数a与c平方后移入根号内，再根据被开方数的大小进行比较。4例6：比较2与3的大小解： 2==，3==。又 28＞27，∴2＞3。十、特殊值法比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。例1：当时，，，的大小顺序是______________。解：（特殊值法）取=，则：=，=2。 ＜＜2，∴＜＜。例2、已知x
