中考一元二次方程综合题例析广东省高州市分界中学李国一元二次方程综合题是中考热点，常常结合其他方面知识进行考查，下面通过几个例子进行分类解析。一、一元二次方程与一次函数综合例1.（2010年绵阳市）．已知关于x的一元二次方程x2=2（1－m）x－m2的两实数根为x1，x2．（1）求m的取值范围；（2）设y=x1+x2，当y取得最小值时，求相应m的值，并求出最小值．分析：（1）若一元二次方程有两不等根，则根的判别式△=b2-4ac≥0，建立关于m的不等式，可求出m的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出x1+x2的表达式，进而可得出y、m的函数关系式，根据函数的性质及（1）题得出的自变量的取值范围，即可求出y的最小值及对应的m值．解：（1）将原方程整理为x2+2（m－1）x+m2=0． 原方程有两个实数根，∴△=[2（m－1）2－4m2=－8m+4≥0，得m≤．（2） x1，x2为x2+2（m－1）x+m2=0的两根，∴y=x1+x2=－2m+2，且m≤．因而y随m的增大而减小，故当m=时，取得最小值1．二、一元二次方程与反比例函数综合例2（2010年山东淄博改编）已知关于x的方程．若以方程的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．分析：写出两根之积，两根之积等于m，进而求出m的最小值．解:设方程的两个根为，，根据题意得．又由一元二次方程根与系数的关系得，那么，所以，当k＝2时m取得最小值－5点评：一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目三、一元二次方程与二次函数综合例3（2008年湖北荆州市）已知：如图，Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的正半轴和y轴的负半轴上，C为OA上一点且OC＝OB，抛物线y=(x－2)(x－m)－(p-2)(p-m)（m、p为常数且m+2≥2p＞0）经过A、C两点．（1）用m、p分别表示OA、OC的长；（2）当m、p满足什么关系时，△AOB的面积最大．分析：（1）因为A、C点都在x轴上，所以令y=0即可求出p的值．（2）根据三角形的面积公式列出△AOB的面积表达式，再根据二次函数最值得表达式求解即可．解：（1）令y=0得：（x-2）（x-m）-（p-2）（p-m）=0，整理得：（x-p）（x-m-2+p）=0，∴x1=p，x2=m+2-p， m+2＞2＞0∴m+2-p＞p＞0，∴OA=m+2-p，OC=P．（2） OC=OB，S△AOB=OA?OB，∴S△AOB=OA?OB=P?（m+2-p），=-P2+（m+2）?P，∴当p==（m+2）时，S△AOB最大．点评：掌握二次函数的图象，最大值，最小值，二次函数中求三角形面积的问题，通常情况下都是涉及其最高点，最低点的问题．四、一元二次方程与不等式综合例4（2008年湖北荆州市）关于的方程两实根之和为m，且满足，关于y的不等于组有实数解，则k的取值范围是______________________.分析：因为方程有两实根，所以△=[2（k+1）]2-4k2≥0≥0，又因为关于y的不等式组y＞-4y＜m有实数解，所以y一定介于-4与m之间，即m一定大于-4，因此m=-2（k+1）＞-4，然后解不等式即可求出k的取值范围．解： 方程x2+2（k+1）x+k2=0有两实根，∴△=[2（k+1）]2-4k2≥0，解得k≥-12； 关于y的不等于组有实数解，∴m＞-4又 m=-2（k+1），∴-2（k+1）＞-4，解得k＜1．∴k的取值范围是得1＞k≥-12．故填空答案：1＞k≥-12．点评：本题综合考查了根的判别式和根与系数的关系，在解不等式时一定要注意数值的正负与不等号的变化关系．五、一元二次方程与概率综合例5（2010年黄冈市）甲、乙两同学投掷一枚骰子，用字母p、q分别表示两人各投掷一次的点数.（1）求满足关于x的方程有实数解的概率.（2）求（1）中方程有两个相同实数解的概率.分析：（1）方程x2+px+q=0有实数解，则p2-4q≥0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数；（2）方程x2+px+q=0有相同实数解，则p2-4q=0，把投掷骰子的36种p、q对应值，代入检验，找出符合条件的个数．解：两人投掷骰子共有36种等可能情况，（1）其中使方程有实数解共有19种情况：p=6时，q=6、5、4、3、2、1；p=5时，q=6、5、4、3、2、1；p=4时，q=4、3、2、1；p=3时，q=2、1；p=2时，q=1；故其概率为．（2）使方程有相等实数解共有2种情况：p=4，q=4；p=2，q=1；故其概率为．点评：本题考查一元二次方程根的判别式和概率关系，同时考查...
