用曲线积分求旋转曲面的面积VIP免费

6.2定积分的几何应用1http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛用曲线积分求旋转曲面的面积用曲线积分求旋转曲面的面积蜀南竹海6.2定积分的几何应用2http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛作为定积分的几何应用，旋转曲面的面积一般是用定积分来计算。本课件用对弧长的曲线积分来建立求旋转曲面的面积的公式。将曲线积分化为定积分可以得到计算旋转曲面面积的定积分公式。6.2定积分的几何应用3http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛先看特殊的情形旋转轴为坐标轴6.2定积分的几何应用4http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛设L是上半平面内的一条平面曲线。将L绕x轴旋转一周得一旋转曲面，求该旋转曲面的面积Ax。我们用元素法来建立旋转曲面面积的曲线积分公式。L6.2定积分的几何应用5http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛ds(,)xyL在曲线L的(x,y)处取一弧微分ds它到x轴的距离是y（如图）。该弧微分绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积约为：2xdAsdy（面积元素）于是整个曲线绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：2xxLLAsdAdyy6.2定积分的几何应用6http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛命题1：上半平面内一条曲线L绕x轴旋转而成的旋转曲面的面积为：2xLysAdds(,)xyyL6.2定积分的几何应用7http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛命题2：右半平面内一条曲线L绕y轴旋转而成的旋转曲面的面积为：同理x2yLxsAdds(,)xyL6.2定积分的几何应用8http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛下面针对不同的曲线方程将曲线积分化为定积分得到熟悉的旋转曲面的面积公式6.2定积分的几何应用9http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛直角坐标方程6.2定积分的几何应用10http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛:()()Lyyxaxbxy=f(x)bLa如果2()1[)2(]2bxaLyyxdsyxdxAL绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：21[()]ysxdxd则21[()](2)bxaAyxxyxd6.2定积分的几何应用11http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛:()()Lyyxaxbxy=f(x)bLa如果21[()2]2byaLxxdsydxAxL绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：21[()]ysxdxd则21[()]2byayxdxAxy6.2定积分的几何应用12http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛参数方程6.2定积分的几何应用13http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛:(),()()LxxtyytatbL如果22[()][()()22]byaLdsxtytdtyAytL绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：22[()][()]xtytddst则22[()][()2()]bxaxtyytAtdtyx6.2定积分的几何应用14http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛:(),()()LxxtyytatbxL如果22[()][()()22]byaLdsxtytdtxAxt则L绕y轴旋转的旋转曲面的面积为：22[()][()]xtytddst则22[()][()2()]byaxtyxtAtdty6.2定积分的几何应用15http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛极坐标方程6.2定积分的几何应用16http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛:()()L()如果22[(()][())sin]22xLdyAdsL绕x轴旋转的旋转曲面的面积为：22[()][()]dsd则x22[()()sin][()]2xAd6.2定积分的几何应用17http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学学院徐小湛我们来推导一个有关曲线L的形心(质心)和旋转曲面面积之间的关系的定理：古尔丁定理PaulGuldin（古尔丁）1577–1643Swissmathematicianwhowroteonvolumesandcentresofgravity.6.2定积分的几何应用18http://xuxzmail.blog.163.comJune30,2012四川大学数学...