3第10节多元函数的极值与最值（考点）下面讨论多元函数的极值问题与最值问题．10
1无条件极值与函数的最值定义10
1设存在的某邻域，使得函数在内有定义且对于任意都有（或），则称为函数的极小值（极大值），点称为函数的极小值点（极大值点）．函数的极小值与极大值统称为极值．极小值点与极大值点统称为极值点．极值点一定是函数定义域的内点．极小值（极大值）是函数在小邻域内的最小值（最大值）
上述定义可以推广到元函数
若函数在处取得极小值（极大值），则在处取得极小值（极大值）；在处取得极小值（极大值）．由一元函数取得极值的必要条件，若在处可偏导数并取得极值，则必有．称使同时成立的点为函数的驻点（或称为临界点）．由上面分析有：定理10
1(函数取得极值的必要条件)如果函数在点取得极值，且在点可偏导，则．类似可得，若三元函数在点可偏导且在该点取得极值，则有．10离散数学函数有极值点，但在点处，,均不存在．（二元或三元）函数极值点所在的范围：
但是，上述两种点不一定是极值点
例如，和在点
上述两种点是否极值点还需进一步判断
下面定理给出函数取得极值的充分条件：定理10
2(函数取得极值的充分条件)设函数在点的邻域内存在二阶连续偏导数，且，．记，，，则有(1)当时，是极值点：．(2)当时，不是极值点．(3)当时，本定理无效．其中称为极值判别式
（注意：（1）中的判断好像与感觉习惯相反
）*证利用二元函数的一阶泰勒公式，因，由已知条件，,，故．又因为在处有连续的二阶偏导数，所以，有，，，其中，当时，，故，因为，故在内，当时，与的符号相同．9第1章集合记，，则(1)当时，有，即，，且二者同号．因为，所以，故与的符号相同．当时，，即，此时为函数的极小值点．当时，，即，此时为函数的极大值点．(2)当时，若，则，当时，；当时，，即此时可正可负；若，，则，当时，；当时，，此时可正可负；故当时，在内可正可负
