课时跟踪检测(三十三)基本不等式及其应用一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.“a>b>0”是“ab<”的________条件.解析:由a>b>0得,a2+b2>2ab;但由a2+b2>2ab不能得到a>b>0,故“a>b>0”是“ab<”的充分不必要条件.答案:充分不必要2.当x>0时,f(x)=的最大值为________.解析:因为x>0,所以f(x)==≤=1,当且仅当x=,即x=1时取等号.答案:13.若a,b都是正数,则的最小值为______.解析:因为a,b都是正数,所以=5++≥5+2=9,当且仅当b=2a时取等号.答案:94.当3<x<12时,函数y=的最大值为________.解析:y===-+15≤-2+15=3.当且仅当x=,即x=6时,ymax=3.答案:35.(2018·扬州中学测试)已知a>b>1且2logab+3logba=7,则a+的最小值为________.解析:因为2logab+3logba=7,所以2(logab)2-7logab+3=0,解得logab=或logab=3,因为a>b>1,所以logab∈(0,1),故logab=,从而b=,因此a+=a+=(a-1)++1≥3,当且仅当a=2时等号成立.答案:36.某车间分批生产某种产品,每批的生产准备费用为800元.若每批生产x件,则平均仓储时间为天,且每件产品每天的仓储费用为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批应生产产品________件.解析:每批生产x件,则平均每件产品的生产准备费用是元,每件产品的仓储费用是元,则+≥2=20,当且仅当=,即x=80时“=”成立,所以每批生产产品80件.答案:80二保高考,全练题型做到高考达标1.(2018·启东中学调研)已知ab=,a,b∈(0,1),则+的最小值为________.解析:由题意得b=,所以0<<1,即a∈,得+=+=++2.4(1-a)+(4a-1)=3,记S=+,则S=+=[(4-4a)+(4a-1)]=2+≥2+,当且仅当=时等号成立,所以所求最小值为4+.答案:4+2.已知a>0,b>0,a,b的等比中项是1,且m=b+,n=a+,则m+n的最小值是________.解析:由题意知ab=1,所以m=b+=2b,n=a+=2a,所以m+n=2(a+b)≥4=4,当且仅当a=b=1时取等号.答案:43.若2x+2y=1,则x+y的取值范围是________.解析:因为2x+2y≥2=2(当且仅当2x=2y时等号成立),所以≤,所以2x+y≤,得x+y≤-2.答案:(-∞,-2]4.(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知直线ax+by-6=0(a>0,b>0)被圆x2+y2-2x-4y=0截得的弦长为2,则ab的最大值是________.解析:将圆的一般方程化为标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,圆心坐标为(1,2),半径r=,故直线过圆心,即a+2b=6,所以a+2b=6≥2,可得ab≤,当且仅当a=2b=3时等号成立,即ab的最大值是.答案:5.某地区要建造一条防洪堤,其横断面为等腰梯形,腰与底边夹角为60°(如图),考虑到防洪堤的坚固性及水泥用料等因素,要求设计其横断面的面积为9m2,且高度不低于m,记防洪堤横断面的腰长为xm,外周长(梯形的上底与两腰长的和)为ym,若要使堤的上面与两侧面的水泥用料最省(即横断面的外周长最小),则防洪堤的腰长x=________.解析:设横断面的高为h,由题意得AD=BC+2·=BC+x,h=x,所以9=(AD+BC)h=(2BC+x)·x,故BC=-,由得2≤x<6,所以y=BC+2x=+(2≤x<6),从而y=+≥2=6,当且仅当=(2≤x<6),即x=2时等号成立.答案:26.(2018·苏州期末)已知正数x,y满足x+y=1,则+的最小值为________.解析:令x+2=a,y+1=b,则a+b=4(a>2,b>1),所以+=+=(a+b)=≥(5+4)=,当且仅当a=,b=,即x=,y=时取等号.则+的最小值为.答案:7.(2017·南通三模)若正实数x,y满足x+y=1,则+的最小值是________.解析:因为正实数x,y满足x+y=1,所以+=+=++4≥2+4=8,当且仅当=,即x=,y=时取“=”,所以+的最小值是8.答案:88.已知实数x,y满足x2+y2-xy=1,则x+y的最大值为________.解析:因为x2+y2-xy=1,所以x2+y2=1+xy.所以(x+y)2=1+3xy≤1+3×2,即(x+y)2≤4,解得-2≤x+y≤2.当且仅当x=y=1时右边等号成立.所以x+y的最大值为2.答案:29.(1)当x<时,求函数y=x+的最大值;(2)设0