2.1.2椭圆的简单性质(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．若椭圆＋＝1的离心率e＝，则m的值是()A．3B．3或C.D．或【解析】若焦点在x轴上，则a＝，由＝得c＝，∴b2＝a2－c2＝3，∴m＝b2＝3.若焦点在y轴上，则b2＝5，a2＝m.∴＝，∴m＝.【答案】B2．椭圆＋＝1上的点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别是()A．8,2B．5,4C．5,1D．9,1【解析】由题意知a＝5，b＝3，c＝4，∴a＋c＝9，a－c＝1，故点P到椭圆左焦点的最大距离和最小距离分别为9,1.【答案】D3．(2016·梅州高二检测)焦点在x轴上，长、短轴长之和为20，焦距为4，则椭圆的方程为()A.＋＝1B．＋＝1C.＋＝1D．＋＝1【解析】 c＝2，∴a2＝(2)2＋b2，又a＋b＝10，可解得a＝6，b＝4.故椭圆方程为＋＝1.【答案】A4．设F1，F2是椭圆E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为()A.B．C.D．【解析】由题意可得|PF2|＝|F1F2|，∴2＝2c.∴3a＝4c.∴e＝.【答案】C5．已知P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，则m2＋n2的取值范围是()A．(0,1]B．[1,2]C．(0,2]D．[2，＋∞)【解析】因为P(m，n)是椭圆x2＋＝1上的一个动点，所以m2＋＝1，即n2＝2－2m2，所以m2＋n2＝2－m2，又－1≤m≤1，所以1≤2－m2≤2，所以1≤m2＋n2≤2，故选B.【答案】B二、填空题6．椭圆的短轴长大于其焦距，则椭圆的离心率的取值范围是________.【解析】由题意2b>2c，即b>c，即>c，∴a2－c2>c2，则a2>2c2.1∴<，∴0b>0)的左，右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|＝3|F1B|.(1)若|AB|＝4，△ABF2的周长为16，求|AF2|；(2)若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率．【解】(1)由|AF1|＝3|F1B|，|AB|＝4，得|AF1|＝3，|F1B|＝1.因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，|AF1|＋|AF2|＝2a＝8.故|AF2|＝2a－|AF1|＝8－3＝5.(2)设|F1B|＝k，则k>0且|AF1|＝3k，|AB|＝4k.由椭圆定义可得|AF2|＝2a－3k，|BF2|＝2a－k.在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2＝|AF2|2＋|BF2|2－2|AF2|·|BF2|cos∠AF2B，2即(4k)2＝(2a－3k)2＋(2a－k)2－(2a－3k)·(2a－k)，化简可得(a＋k)(a－3k)＝0.而a＋k>0，故a＝3k.于是有|AF2|＝3k＝|AF1|，|BF2|＝5k.因此|BF2|2＝|F2A|2＋|AB|2，可得F1A⊥F2A，故△AF1F2为等腰直角三角形．从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝.[能力提升]1．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在该椭圆上，且MF1·MF2＝0，则点M到y轴的距离为()A.B．C.D．【解析】由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．设M(x，y)，则MF1·MF2＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3.①又因为点M在椭圆＋y2＝1上，即y2＝1－.②将②代入①，得x2＝2，解得x＝±.故点M到y轴的距离为.【答案】B2．已知F1、F2是椭圆的两个焦点．满足MF1·MF2＝0的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是()A．(0,1)B．C.D．【解...
