第二章测评(时间:120分钟满分:150分)一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l过点(2,-1),且在y轴上的截距为3,则直线l的方程为()A.2x+y+3=0B.2x+y-3=0C.x-2y-4=0D.x-2y+6=0解析由题意直线过(2,-1),(0,3),故直线的斜率k=3+10-2=-2,故直线的方程为y=-2x+3,即2x+y-3=0.答案B2.已知点P(-2,4)在抛物线y2=2px(p>0)的准线上,则该抛物线的焦点坐标是()A.(0,2)B.(0,4)C.(2,0)D.(4,0)解析因为点P(-2,4)在抛物线y2=2px的准线上,所以-p2=-2,所以p=4,则该抛物线的焦点坐标是(2,0).答案C3.已知直线l1:xcos2α+√3y+2=0,若l1⊥l2,则l2倾斜角的取值范围是()A.[π3,π2)B.[0,π6]C.[π3,π2]D.[π3,5π6]解析因为l1:xcos2α+√3y+2=0的斜率k1=-cos2α√3∈[-√33,0],当cosα=0时,即k1=0时,k不存在,此时倾斜角为12π,由l1⊥l2,k1≠0时,可知直线l2的斜率k=-1k1≥√3,此时倾斜角的取值范围为[π3,π2).综上可得l2倾斜角的取值范围为[π3,π2].答案C4.设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为()A.(x-1)2+y2=4B.(x-1)2+y2=16C.(x-2)2+y2=16D.(x+2)2+y2=4解析根据题意,抛物线y2=4x,其焦点在x轴正半轴上,且p=2,则其焦点F(1,0),准线方程为x=-1,以F为圆心,且与l相切的圆的半径r=2,1则该圆的方程为(x-1)2+y2=4.答案A5.在一个平面上,机器人到与点C(3,-3)的距离为8的地方绕C点顺时针而行,它在行进过程中到经过点A(-10,0)与B(0,10)的直线的最近距离为()A.8√2-8B.8√2+8C.8√2D.12√2解析机器人到与点C(3,-3)距离为8的地方绕C点顺时针而行,在行进过程中保持与点C的距离不变,∴机器人的运行轨迹方程为(x-3)2+(y+3)2=64,如图所示; A(-10,0)与B(0,10),∴直线AB的方程为x-10+y10=1,即为x-y+10=0,则圆心C到直线AB的距离为d=|3+3+10|√1+1=8√2>8,∴最近距离为8√2-8.答案A6.设P是双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)上的点,F1、F2是焦点,双曲线的离心率是43,且∠F1PF2=90°,△F1PF2的面积是7,则a+b等于()A.3+√7B.9+√7C.10D.16解析由题意,不妨设点P是右支上的一点,|PF1|=m,|PF2|=n,则{12mn=7,m-n=2a,m2+n2=4c2,ca=43,∴a=3,c=4.∴b=√c2-a2=√7.∴a+b=3+√7.答案A7.位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥(如图所示)有“仙境之桥”之称,它的桥形可近似地看成抛物线,该桥的高度为h,跨径为a,则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为()2A.a28hB.a24hC.a22hD.a2h解析根据题意,以桥顶为坐标原点,桥形的对称轴为y轴建立如右图所示的平面直角坐标系,该抛物线方程可写为x2=-2py(p>0). 该抛物线经过点(a2,-h),代入抛物线方程可得a24=2hp,解得p=a28h.∴桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离即为p=a28h.答案A8.平面直角坐标系中,设A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),点M在单位圆上,则使得△MAB为直角三角形的点M的个数是()A.1B.2C.3D.4解析根据题意,如图,若△MAB为直角三角形,分3种情况讨论:①∠MAB=90°,则点M在过点A与AB垂直的直线上,设该直线为l1,又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),则kAB=2.56-0.561.02-(-0.98)=1,则kl1=-1,直线l1的方程为y-0.56=-(x+0.98),即x+y+0.42=0,此时原点O到直线l1的距离d=|0.42|√2=21√2100<1,直线l1与单位圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M;②∠MBA=90°,则点M在过点B与AB垂直的直线上,设该直线为l2,同理可得,直线l2的方程为y-2.56=-(x-1.02),即x+y-3.58=0,此时原点O到直线l2的距离d=|3.58|√2=179√2100>1,直线l2与单位圆相离,没有公共点,即没有符合题意的点M;③∠AMB=90°,此时点M在以AB为直径的圆上,3又由A(-0.98,0.56),B(1.02,2.56),设AB的中点为C,则C的坐标为(0.02,1.56),|AB|=√4+4=2√2,则以AB为直径的圆的圆心C为(0.02,1.56),半径r=12|AB|=√2,此时|OC|=√(0.02)2+(1.56)2=√2.4340,则有√2-1<|OC|<√2+1,两圆相交,有2个公共点,即有2个符合题意的点M.综合可得,共有4个符合条件的点M.答案D二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对得3分,有选错的得0分.9.已知圆C1:x2+y2=r2,圆C2:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于不同的A(x1,y1),B(x...
