不等式中的新题型唐耀庭一、开放型例1不等式___________的解集是。解析：本题是一道开放题，答案较多，我们可由解集出发，借助不等式的基本性质求解，如对于，两边同时加上3，可得；两边同时加上4x，可得；两边同时减去3，可得；两边同时乘以6，可得，……二、分类讨论型例2解关于x的不等式：解析：由于，所以不等式两边同时乘以ab，去分母，得，即。由，可得a、b同号，所以当时，，不等式的解集为；当时，不等式的解集为。三、定义新运算型例3对于整数a，b，c，d，符号表示运算；已知，则的值是_________。解析：本题定义了新的运算，即，所以所以，所以，又因为b，d为整数，。所以b、d同为正或同为负。当时，；当时，，所以。例4规定一种新的运算：如请比较大小：_________（填“＜”、“＞”或“＝”）解析：解答本题的关键是观察“△”所表示的意义，对新知识要有全新的理解。因为所以又因为；所以。四、数形结合型例5关于x的不等式组只有4个整数解，则a的取值范围是（）。A.B.C.D.解析：解不等式组得其解集为。由于解集中只有4个整数解，所以这4个整数解只能是20，19，18，17。表示在数轴上，如图1：由图1可知，应在16（包括16）到17（不包括17）之间，即，解得。故选C。点评：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”解题时应数形结合加深对问题的理解；解此类题目，应以所有的整数解作为突破口。五、阅读理解型例6根据以下10个乘积，回答问题：11×2912×2813×2714×2615×2516×2417×2318×2219×2120×20（1）试将以上各乘积分别写成一个“□2－○2”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论。（不要求证明）。解：（1）例如，11×29；假设11×29＝□2－○2，因为□2－○2＝（□－○）（□＋○）；所以，可以令□－○＝11，□＋○＝29。解得，□＝20，○＝9，故（或）。（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：（3）①若，a，b是自然数，则②若，则。③若，a，b是自然数，则。④若，则。⑤若且则⑥若且则例7n个小杯中依次盛有克糖水，并且分别含糖克。若这n杯糖水的浓度相同。则有连等式现将这n杯糖水合到一个大空杯中，则合杯糖水的浓度与各小杯糖水的浓度还是一样的。这个尽人皆知的事实，说明一个数学定理——等比定理：若则若这n杯糖水的浓度互不相同，不妨设，现将这n杯糖水合到一个大空杯中，则合杯糖水的浓度一定大于_________，且小于_________。这个尽人皆知的事实，又说明了一个数学定理——不等比定理：若，则______________。解析：本题用人人熟知的生活常识作底色，创设阅读情境，在生活经验中数学定理“浮出水面”，凸显了数学的人性化和应用的广泛化，学生在自主学习的同时，构造出不等比定理，在模仿中透着创新。解：六、探索归纳型例8探索问题（1）请你任意写出5个正的真分数：___________，___________，___________，________，_________，给每个分数的分子、分母同加一个正数得到五个新分数___________，___________，___________，___________，___________。（2）比较原来每个分数与对应新分数的大小，可以得出下面的结论：一个真分数是（a，b均为正数），给其分子分母同加一个正数m，得，则两个分数的大小关系是___________（3）请你用文字叙述（2）中结论的含义：_______________________________________________________。（4）你能用图形的面积说明这个结论吗？（5）这个结论可以解释生活中的许多现象，解决许多生活与数学中的问题，请你再提出一个类似的数学问题，或举出一个生活中与此结论相关的例子。解析：（1）略；（2）＞；（3）给一个正的真分数的分子分母同加一个正数，得到的新分数大于原来的分数；（4）如下图所示，由，得，可推出；（5）数学问题举例：①若是假分数，会有怎样的结论？答：；②a，b不是正数，或不全为正数，情况如何？生活问题举例：①一杯b克糖水，内含糖a克，糖水浓度，若再往杯中加m克水，糖水的浓度是，比加糖前的浓度增大了，所以糖水更甜了。②建筑学规定：民用住宅的窗户必须小于地板面积。但按采光标...
