不等式中的新题型唐耀庭一、开放型例1不等式___________的解集是。解析:本题是一道开放题,答案较多,我们可由解集出发,借助不等式的基本性质求解,如对于,两边同时加上3,可得;两边同时加上4x,可得;两边同时减去3,可得;两边同时乘以6,可得,……二、分类讨论型例2解关于x的不等式:解析:由于,所以不等式两边同时乘以ab,去分母,得,即。由,可得a、b同号,所以当时,,不等式的解集为;当时,不等式的解集为。三、定义新运算型例3对于整数a,b,c,d,符号表示运算;已知,则的值是_________。解析:本题定义了新的运算,即,所以所以,所以,又因为b,d为整数,。所以b、d同为正或同为负。当时,;当时,,所以。例4规定一种新的运算:如请比较大小:_________(填“<”、“>”或“=”)解析:解答本题的关键是观察“△”所表示的意义,对新知识要有全新的理解。因为所以又因为;所以。四、数形结合型例5关于x的不等式组只有4个整数解,则a的取值范围是()。A.B.C.D.解析:解不等式组得其解集为。由于解集中只有4个整数解,所以这4个整数解只能是20,19,18,17。表示在数轴上,如图1:由图1可知,应在16(包括16)到17(不包括17)之间,即,解得。故选C。点评:“数缺形时少直观,形缺数时难入微”解题时应数形结合加深对问题的理解;解此类题目,应以所有的整数解作为突破口。五、阅读理解型例6根据以下10个乘积,回答问题:11×2912×2813×2714×2615×2516×2417×2318×2219×2120×20(1)试将以上各乘积分别写成一个“□2-○2”(两数平方差)的形式,并写出其中一个的思考过程;(2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来;(3)试由(1)、(2)猜测一个一般性的结论。(不要求证明)。解:(1)例如,11×29;假设11×29=□2-○2,因为□2-○2=(□-○)(□+○);所以,可以令□-○=11,□+○=29。解得,□=20,○=9,故(或)。(2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是:(3)①若,a,b是自然数,则②若,则。③若,a,b是自然数,则。④若,则。⑤若且则⑥若且则例7n个小杯中依次盛有克糖水,并且分别含糖克。若这n杯糖水的浓度相同。则有连等式现将这n杯糖水合到一个大空杯中,则合杯糖水的浓度与各小杯糖水的浓度还是一样的。这个尽人皆知的事实,说明一个数学定理——等比定理:若则若这n杯糖水的浓度互不相同,不妨设,现将这n杯糖水合到一个大空杯中,则合杯糖水的浓度一定大于_________,且小于_________。这个尽人皆知的事实,又说明了一个数学定理——不等比定理:若,则______________。解析:本题用人人熟知的生活常识作底色,创设阅读情境,在生活经验中数学定理“浮出水面”,凸显了数学的人性化和应用的广泛化,学生在自主学习的同时,构造出不等比定理,在模仿中透着创新。解:六、探索归纳型例8探索问题(1)请你任意写出5个正的真分数:___________,___________,___________,________,_________,给每个分数的分子、分母同加一个正数得到五个新分数___________,___________,___________,___________,___________。(2)比较原来每个分数与对应新分数的大小,可以得出下面的结论:一个真分数是(a,b均为正数),给其分子分母同加一个正数m,得,则两个分数的大小关系是___________(3)请你用文字叙述(2)中结论的含义:_______________________________________________________。(4)你能用图形的面积说明这个结论吗?(5)这个结论可以解释生活中的许多现象,解决许多生活与数学中的问题,请你再提出一个类似的数学问题,或举出一个生活中与此结论相关的例子。解析:(1)略;(2)>;(3)给一个正的真分数的分子分母同加一个正数,得到的新分数大于原来的分数;(4)如下图所示,由,得,可推出;(5)数学问题举例:①若是假分数,会有怎样的结论?答:;②a,b不是正数,或不全为正数,情况如何?生活问题举例:①一杯b克糖水,内含糖a克,糖水浓度,若再往杯中加m克水,糖水的浓度是,比加糖前的浓度增大了,所以糖水更甜了。②建筑学规定:民用住宅的窗户必须小于地板面积。但按采光标...