第一章空间向量与立体几何1.4空间向量的应用1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系第2课时空间中直线、平面的垂直课后篇巩固提升基础达标练1.(多选题)已知v为直线l的方向向量,n1,n2分别为平面α,β的法向量(α,β不重合),那么下列说法中,正确的有()A.n1∥n2⇔α∥βB.n1⊥n2⇔α⊥βC.v∥n1⇔l∥αD.v⊥n1⇔l⊥α解析 平面α,β不重合,∴平面α,β的法向量平行(垂直)等价于平面α,β平行(垂直),∴AB正确;直线l的方向向量平行(垂直)于平面α的法向量等价于直线l垂直(平行)于平面α,∴CD都错误.故选AB.答案AB2.某直线l的一个方向向量为a=(2,2,-2),平面α的一个法向量为b=(1,1,-1),则()A.l⊥αB.l∥αC.l⊂αD.l⊥α或l∥α解析 a=2b,∴a∥b,∴l⊥α.答案A3.(多选题)在菱形ABCD中,若⃗PA是平面ABCD的法向量,则以下等式中一定成立的是()A.⃗PA·⃗AB=0B.⃗PC·⃗BD=0C.⃗PC·⃗AB=0D.⃗PA·⃗CD=0解析 PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA.又AC⊥BD,AC∩PA=A,∴BD⊥平面PAC, PC⊂平面PAC,∴PC⊥BD.故ABD成立.答案ABD4.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在A1D,AC上,且A1E=23A1D,AF=13AC,则()A.EF至多与A1D,AC之一垂直B.EF⊥A1D,EF⊥ACC.EF与BD1相交D.EF与BD1异面解析建立分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴的空间直角坐标系(图略),不妨设正方体的棱长为1,则⃗DA1=(1,0,1),⃗AC=(-1,1,0),E13,0,13,F23,13,0,⃗EF=13,13,-13,∴⃗EF·⃗DA1=0,⃗EF·⃗AC=0,∴EF⊥A1D,EF⊥AC.又⃗BD1=(-1,-1,1),∴⃗BD1=-3⃗EF,即EF与BD1平行.答案B5.设平面α与向量a=(-1,2,-4)垂直,平面β与向量b=(2,3,1)垂直,则平面α与β的位置关系是.解析a·b=0,所以α⊥β.答案垂直6.已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为.解析由题意得⃗PA=(-x,1,-z),⃗AB=(-1,-1,-1),⃗AC=(2,0,1),由⃗PA⊥⃗AB,得⃗PA·⃗AB=x-1+z=0,由⃗PA⊥⃗AC,得⃗PA·⃗AC=-2x-z=0,解得{x=-1,z=2.故点P的坐标为(-1,0,2).答案(-1,0,2)7.在棱长为a的正方体OABC-O1A1B1C1中,E,F分别是AB,BC上的动点,且AE=BF,求证:A1F⊥C1E.证明以O为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(a,0,a),C1(0,a,a).设AE=BF=x,则E(a,x,0),F(a-x,a,0).所以⃗A1F=(-x,a,-a),⃗C1E=(a,x-a,-a).因为⃗A1F·⃗C1E=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a)=-ax+ax-a2+a2=0,所以⃗A1F⊥⃗C1E,即A1F⊥C1E.8.如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.求证:CD⊥平面PAE.证明如图,以A为坐标原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.设PA=h,则A(0,0,0),B(4,0,0),C(4,3,0),D(0,5,0),E(2,4,0),P(0,0,h).易知⃗CD=(-4,2,0),⃗AE=(2,4,0),⃗AP=(0,0,h). ⃗CD·⃗AE=-8+8+0=0,⃗CD·⃗AP=0,∴CD⊥AE,CD⊥AP. AP∩AE=A,∴CD⊥平面PAE.9.如图所示,△ABC是一个正三角形,EC⊥平面ABC,BD∥CE,且CE=CA=2BD.求证:平面DEA⊥平面ECA.证明建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,不妨设CA=2,则CE=2,BD=1,C(0,0,0),A(√3,1,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1).所以⃗EA=(√3,1,-2),⃗CE=(0,0,2),⃗ED=(0,2,-1).分别设平面ECA与平面DEA的法向量是n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2),则{n1·⃗EA=0,n1·⃗CE=0,即{√3x1+y1-2z1=0,2z1=0,解得{y1=-√3x1,z1=0,{n2·⃗EA=0,n2·⃗ED=0,即{√3x2+y2-2z2=0,2y2-z2=0,解得{x2=√3y2,z2=2y2.不妨取n1=(1,-√3,0),n2=(√3,1,2),因为n1·n2=0,所以n1⊥n2.所以平面DEA⊥平面ECA.能力提升练1.已知⃗AB=(1,5,-2),⃗BC=(3,1,z),若⃗AB⊥⃗BC,⃗BP=(x-1,y,-3),且BP⊥平面ABC,则实数x,y,z分别为()A.337,-157,4B.407,-157,4C.407,-2,4D.4,407,-15解析 ⃗AB⊥⃗BC,∴⃗AB·⃗BC=0,即3+5-2z=0,得z=4,又BP⊥平面ABC,∴⃗BP⊥⃗AB,⃗BP⊥⃗BC,则{(x-1)+5y+6=0,3(x-1)+y-12=0,解得{x=407,y=-157.答案B2.如图所示,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的正方形,PD⊥底面ABCD,且PD=1,若点E,F分别为PB,AD的中点,则直线EF与平面PBC的位置关系是.解析以D为原点,DA,DC,DP所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,则B(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,1),E12,12,12,F12,0,0,∴⃗EF=0,-12,-12,⃗PB=(1,1,-1),⃗PC=(0,-...
