初三数学二次函数知识精讲一.本周教学内容：二次函数二.重点、难点：本节课要求掌握的重点内容是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与性质及求解析式的方法。学习的难点是性质的应用。要在熟练掌握二次函数的图象及性质的基础上，善于运用一些基本数学方法如数形结合、类比法等，在实际问题中建立数学模型，以达到将抽象、复杂的问题具体化、直观化的目的。［知识点］（一）二次函数的图象及画法二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图象是对称轴平行于y轴（或是y轴本身）的抛物线。几个不同的二次函数。如果二次项系数a相同，那么其图象的开口方向、形状完全相同，只是顶点的位置不同。1.用描点法画图象首先确定二次函数的开口方向、对称轴、顶点坐标，然后在对称轴两侧，以顶点为中心，左右对称地画图。画结构图时应抓住以下几点：对称轴、顶点、与x轴的交点、与y轴的交点。2.用平移法画图象由于a相同的抛物线y＝ax2＋bx＋c的开口及形状完全相同，故可将抛物线y＝ax2的图象平移得到a值相同的其它形式的二次函数的图象。步骤为：利用配方法或公式法将二次函数化为y＝a（x－h）2＋k的形式，确定其顶点（h，k），然后做出二次函数y＝ax2的图象。将抛物线y＝ax2平移，使其顶点平移到（h，k）。（二）二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质（三）抛物线y＝ax2＋bx＋c中a、b、c的作用（1）a决定抛物线的开口方向及开口大小；（2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置：当b＝0时，抛物线的对称轴为y轴；当a、b同号时，对称轴在y轴的左侧；当a、b异号时，对称轴在y轴右侧。（3）c的大小决定抛物线与y轴交点的位置，由于抛物线与y轴的交点为（0，c），故c=0时，抛物线与y轴的交点为原点；当c>0时，交点在y轴的正半轴上；当c<0时，交点在y轴的负半轴上。（四）求二次函数解析式的方法确定二次函数的解析式，一般仍用待定系数法。（1）已知图象上的三点，通常选择一般式：y＝ax2＋bx＋c。（2）已知图象的顶点或对称轴，常选用顶点式：y＝a（x－h）2＋k。（3）已知图象与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），通常选用交点式：y＝a（x－x1）（x－x2）。（五）二次函数与一元二次方程的关系抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴的两个交点的横坐标x1、x2是对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根，抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根的判别式来判定。当△>0时，抛物线与x轴有两个交点；当△=0时，抛物线与x轴只有一个交点（即顶点在x轴上）；当△<0时，抛物线与x轴无交点。例1.（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大（或最小值）；（2）求抛物线与y轴，与x轴的交点；（3）x为何值时，y随x的增大而减小；（4）x为何值时，y>0？y=0？y<0？解析：此题主要考查二次函数的图象和性质。解：（1）∴抛物线的开口向上，顶点坐标为（-2，-1），对称轴为直线x=-2∴图象有最低点，当x=-2时，y的最小值为-1（2）令x=0，则y=1，∴抛物线与y轴的交点坐标为（0，1）例2.抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示：确定下列各式的符号：（1）a；（2）b；（3）c；（4）b2－4ac；（5）a＋b＋c；（6）a－b＋c解析：本题主要考查二次函数的图象的位置与a、b、c的关系，解题应注意观察抛物线的开口方向、对称轴和x轴、y轴交点的情况。解：（1） 抛物线开口向下，∴a＜0（3） 抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c＞0（4） 抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0（5） 当x=1时，由图象知y＞0，∴a＋b＋c＞0（6） 当x=-1时，由图象知y＜0，∴a－b＋c＜0例3.已知：抛物线y＝ax2＋bx＋c满足以下条件，求函数的解析式。（1）图象经过两点A（1，0），B（0，3），且对称轴是x＝2；（2）图象顶点是（-2，3），且过（-1，5）点；（4）图象顶点是M（1，6），且与x轴交于两点，已知两点相距8个单位。解析：本题主要考察二次函数解析式的三种形式的灵活应用。解题时要根据不同的已知条件，选用不同的形式，使计算简便。解：（1）设所求的解析式为：y＝ax2＋bx＋c 抛物线经过两点A（1，0），B（0，-3），对称轴x＝-2（2）设所求函数解析式为：y＝a（x－h）2＋k 抛物线顶点为（-2，3） （-1，5）点在抛物线上（3）设所求函...
